Giải PT:
$\frac{1}{3^x+1}+\frac{1}{5^x+1}=\frac{2}{4^x+1}$
!!!
Giải PT:
$\frac{1}{3^x+1}+\frac{1}{5^x+1}=\frac{2}{4^x+1}$
!!!
Lời giải khá đơn giản.
Áp dung BĐT Swart cho phương trình trên $=> 3^x+5^x>2.4^x$
Biến đổi quy đồng ta được : $(4^x+1)(3^x+5^x+2)=2(3^x+1)(5^x+1)$
Dễ dàng chứng minh : $(4^x+1)^2-(3^x+1)(5^x+1)\geq0$ (Chứng minh này khá đơn giản nên có lẽ bạn tự làm nhé)
$=>(4^x+1)(3^x+5^x+2)\leq2(4^x+1)^2=>3^x+5^x\leq2.4^x$ (Vô lí)
Vậy phương trình vô nghiệm
.
Reaper
.
.
The god of carnage
Lời giải khá đơn giản.
Áp dung BĐT Swart cho phương trình trên $=> 3^x+5^x>2.4^x$
Biến đổi quy đồng ta được : $(4^x+1)(3^x+5^x+2)=2(3^x+1)(5^x+1)$
Dễ dàng chứng minh : $(4^x+1)^2-(3^x+1)(5^x+1)\geq0$ (Chứng minh này khá đơn giản nên có lẽ bạn tự làm nhé)
$=>(4^x+1)(3^x+5^x+2)\leq2(4^x+1)^2=>3^x+5^x\leq2.4^x$ (Vô lí)
Vậy phương trình vô nghiệm
Sai bước cuối nhé khi x=0 thì $3^0+5^0=2.4^0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Congnghiaky298: 31-05-2015 - 21:38
Lời giải khá đơn giản.
Áp dung BĐT Swart cho phương trình trên $=> 3^x+5^x>2.4^x$
Biến đổi quy đồng ta được : $(4^x+1)(3^x+5^x+2)=2(3^x+1)(5^x+1)$
Dễ dàng chứng minh : $(4^x+1)^2-(3^x+1)(5^x+1)\geq0$ (Chứng minh này khá đơn giản nên có lẽ bạn tự làm nhé)
$=>(4^x+1)(3^x+5^x+2)\leq2(4^x+1)^2=>3^x+5^x\leq2.4^x$ (Vô lí)
Vậy phương trình vô nghiệm
swart thế nào hả bạn?
Trái tim nóng và cái đầu lạnh
swart thế nào hả bạn?
Sai bước cuối nhé khi x=0 thì $3^0+5^0=2.4^0$
À ừ sorry bạn, mình thiếu trường hợp $x=0$
Swart như sau : $\frac{2}{4^x+1}=\frac{1}{3^x+1}+\frac{1}{5^x+1}\geq\frac{4}{3^x+5^x+2}=>3^x+5^x>2.4^x$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ZzNightWalkerZz: 31-05-2015 - 21:58
.
Reaper
.
.
The god of carnage
Mình đang định nói về đoạn swart, đoạn này không xảy ra dấu $=$ nên vô lí là đúng rồi bạn
Swart như sau : $\frac{2}{4^x+1}=\frac{1}{3^x+1}+\frac{1}{5^x+1}\geq\frac{4}{3^x+5^x+2}=>3^x+5^x>2.4^x$
Rõ là bạn nói pt vô nghiệm nhé :v
Lời giải khá đơn giản.
Áp dung BĐT Swart cho phương trình trên $=> 3^x+5^x>2.4^x$
Biến đổi quy đồng ta được : $(4^x+1)(3^x+5^x+2)=2(3^x+1)(5^x+1)$
Dễ dàng chứng minh : $(4^x+1)^2-(3^x+1)(5^x+1)\geq0$ (Chứng minh này khá đơn giản nên có lẽ bạn tự làm nhé)
$=>(4^x+1)(3^x+5^x+2)\leq2(4^x+1)^2=>3^x+5^x\leq2.4^x$ (Vô lí)
Vậy phương trình vô nghiệm
$(4^x+1)^2-(3^x+1)(5^x+1)\geq0$ chỗ này dễ dàng thế nào hả bạn???
Trái tim nóng và cái đầu lạnh
$(4^x+1)^2-(3^x+1)(5^x+1)\geq0$ chỗ này dễ dàng thế nào hả bạn???
Phải công nhận xem lại nó cũng không dễ cho lắm .Lời giải của mình hơi kì cục tí.
Đặt $f(x)=(4^x+1)^2-(3^x+1)(5^x+1)$
$=>f'(x)=ln(16).16^x+2ln(4).4^x-ln(15).15^x-ln(3).3^x-ln(5).5^x=ln(16).(16^x+4^x)-ln(15).15^x-ln(3).3^x-ln(5).5^x$
Dễ dàng chứng minh bất đẳng thức sau : $ln(3).3^x+ln(5).5^x\leq ln(5).3^x+ln(3).5^x$ (Lần này là dễ thật nhé, chỉ cần chuyển vế sang thôi)
$=>2[ln(3).3^x+ln(5).5^x]\leq[ln(3)+ln(5)](3^x+5^x)=ln(15).(3^x+5^x)$
$=>f'(x)\geq ln(16)(16^x+4^x)-ln(15)(15^x+\frac{3^x+5^x}{2})\geq ln(16)[16^x+4^x-(15^x+\frac{3^x+5^x}{2})]$
Do $3^x+5^x\geq 2.4^x=>3^x+5^x-2.4^x\geq\frac{3^x+5^x}{2}-4^x=>f'(x)\geq ln(16).f(x)$
Với $x=0=>f(x)=0$ nên hàm này đồng biến, ta có điều phải chứng minh rồi nhé
.
Reaper
.
.
The god of carnage
Có xảy ra dấu "="
Có mà bạn, tại x=0 thì $3^x=5^x=1$ .
Trái tim nóng và cái đầu lạnh
Phải công nhận xem lại nó cũng không dễ cho lắm .Lời giải của mình hơi kì cục tí.
Đặt $f(x)=(4^x+1)^2-(3^x+1)(5^x+1)$
$=>f'(x)=ln(16).16^x+2ln(4).4^x-ln(15).15^x-ln(3).3^x-ln(5).5^x=ln(16).(16^x+4^x)-ln(15).15^x-ln(3).3^x-ln(5).5^x$
Dễ dàng chứng minh bất đẳng thức sau : $ln(3).3^x+ln(5).5^x\leq ln(5).3^x+ln(3).5^x$ (Lần này là dễ thật nhé, chỉ cần chuyển vế sang thôi)
$=>2[ln(3).3^x+ln(5).5^x]\leq[ln(3)+ln(5)](3^x+5^x)=ln(15).(3^x+5^x)$
$=>f'(x)\geq ln(16)(16^x+4^x)-ln(15)(15^x+\frac{3^x+5^x}{2})\geq ln(16)[16^x+4^x-(15^x+\frac{3^x+5^x}{2})]$
Do $3^x+5^x\geq 2.4^x=>3^x+5^x-2.4^x\geq\frac{3^x+5^x}{2}-4^x=>f'(x)\geq ln(16).f(x)$
Với $x=0=>f(x)=0$ nên hàm này đồng biến, ta có điều phải chứng minh rồi nhé
chỗ này có vấn đề:
theo bạn thì ${f}'(x)\geq ln(16)f(x)$ mà $f(x)\geq f(0)=0$ nên hàm đồng biến ??????????
Trái tim nóng và cái đầu lạnh
xét x>=0
$\frac{1}{3^{x}+1}+\frac{1}{5^{x}+1}\geq \frac{2}{\sqrt{15}^{x}+1}\geq \frac{2}{4^{x}+1}$ dau = xay ra khi x=0
x<0
$\frac{1}{3^{x}+1}+\frac{1}{5^{x}+1}\leq \frac{2}{\sqrt{15}^{x}+1}\leq \frac{2}{4^{x}+1}$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh