Chủ đề này có 11 trả lời

[bestmather]

Giải PT:

$\frac{1}{3^x+1}+\frac{1}{5^x+1}=\frac{2}{4^x+1}$ 

!!!

[ZzNightWalkerZz]

Giải PT:

$\frac{1}{3^x+1}+\frac{1}{5^x+1}=\frac{2}{4^x+1}$ 

!!!

Lời giải khá đơn giản. 

Áp dung BĐT Swart cho phương trình trên $=> 3^x+5^x>2.4^x$

Biến đổi quy đồng ta được : $(4^x+1)(3^x+5^x+2)=2(3^x+1)(5^x+1)$

Dễ dàng chứng minh : $(4^x+1)^2-(3^x+1)(5^x+1)\geq0$ (Chứng minh này khá đơn giản nên có lẽ bạn tự làm nhé)

$=>(4^x+1)(3^x+5^x+2)\leq2(4^x+1)^2=>3^x+5^x\leq2.4^x$ (Vô lí)

Vậy phương trình vô nghiệm

[Congnghiaky298]

Lời giải khá đơn giản. 

Áp dung BĐT Swart cho phương trình trên $=> 3^x+5^x>2.4^x$

Biến đổi quy đồng ta được : $(4^x+1)(3^x+5^x+2)=2(3^x+1)(5^x+1)$

Dễ dàng chứng minh : $(4^x+1)^2-(3^x+1)(5^x+1)\geq0$ (Chứng minh này khá đơn giản nên có lẽ bạn tự làm nhé)

$=>(4^x+1)(3^x+5^x+2)\leq2(4^x+1)^2=>3^x+5^x\leq2.4^x$ (Vô lí)

Vậy phương trình vô nghiệm

Sai bước cuối nhé khi x=0 thì $3^0+5^0=2.4^0$  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Congnghiaky298: 31-05-2015 - 21:38

[bestmather]

Lời giải khá đơn giản. 

Áp dung BĐT Swart cho phương trình trên $=> 3^x+5^x>2.4^x$

Biến đổi quy đồng ta được : $(4^x+1)(3^x+5^x+2)=2(3^x+1)(5^x+1)$

Dễ dàng chứng minh : $(4^x+1)^2-(3^x+1)(5^x+1)\geq0$ (Chứng minh này khá đơn giản nên có lẽ bạn tự làm nhé)

$=>(4^x+1)(3^x+5^x+2)\leq2(4^x+1)^2=>3^x+5^x\leq2.4^x$ (Vô lí)

Vậy phương trình vô nghiệm

swart thế nào hả bạn?

[ZzNightWalkerZz]

swart thế nào hả bạn?

 

 

Sai bước cuối nhé khi x=0 thì $3^0+5^0=2.4^0$  

À ừ sorry bạn, mình thiếu trường hợp $x=0$

Swart như sau : $\frac{2}{4^x+1}=\frac{1}{3^x+1}+\frac{1}{5^x+1}\geq\frac{4}{3^x+5^x+2}=>3^x+5^x>2.4^x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ZzNightWalkerZz: 31-05-2015 - 21:58

[Congnghiaky298]

 

 

Mình đang định nói về đoạn swart, đoạn này không xảy ra dấu $=$ nên vô lí là đúng rồi bạn

Swart như sau : $\frac{2}{4^x+1}=\frac{1}{3^x+1}+\frac{1}{5^x+1}\geq\frac{4}{3^x+5^x+2}=>3^x+5^x>2.4^x$

 

Rõ là bạn nói pt vô nghiệm nhé :v

[bestmather]

Lời giải khá đơn giản. 

Áp dung BĐT Swart cho phương trình trên $=> 3^x+5^x>2.4^x$

Biến đổi quy đồng ta được : $(4^x+1)(3^x+5^x+2)=2(3^x+1)(5^x+1)$

Dễ dàng chứng minh : $(4^x+1)^2-(3^x+1)(5^x+1)\geq0$ (Chứng minh này khá đơn giản nên có lẽ bạn tự làm nhé)

$=>(4^x+1)(3^x+5^x+2)\leq2(4^x+1)^2=>3^x+5^x\leq2.4^x$ (Vô lí)

Vậy phương trình vô nghiệm

$(4^x+1)^2-(3^x+1)(5^x+1)\geq0$ chỗ này dễ dàng thế nào hả bạn???

[ZzNightWalkerZz]

$(4^x+1)^2-(3^x+1)(5^x+1)\geq0$ chỗ này dễ dàng thế nào hả bạn???

Phải công nhận xem lại nó cũng không dễ cho lắm  .Lời giải của mình hơi kì cục tí.

Đặt $f(x)=(4^x+1)^2-(3^x+1)(5^x+1)$

$=>f'(x)=ln(16).16^x+2ln(4).4^x-ln(15).15^x-ln(3).3^x-ln(5).5^x=ln(16).(16^x+4^x)-ln(15).15^x-ln(3).3^x-ln(5).5^x$

Dễ dàng chứng minh bất đẳng thức sau : $ln(3).3^x+ln(5).5^x\leq ln(5).3^x+ln(3).5^x$ (Lần này là dễ thật nhé, chỉ cần chuyển vế sang thôi)

$=>2[ln(3).3^x+ln(5).5^x]\leq[ln(3)+ln(5)](3^x+5^x)=ln(15).(3^x+5^x)$

$=>f'(x)\geq ln(16)(16^x+4^x)-ln(15)(15^x+\frac{3^x+5^x}{2})\geq ln(16)[16^x+4^x-(15^x+\frac{3^x+5^x}{2})]$

Do $3^x+5^x\geq 2.4^x=>3^x+5^x-2.4^x\geq\frac{3^x+5^x}{2}-4^x=>f'(x)\geq ln(16).f(x)$

Với $x=0=>f(x)=0$ nên hàm này đồng biến, ta có điều phải chứng minh rồi nhé

[congdaoduy9a]

 

 

À ừ sorry bạn, mình thiếu trường hợp $x=0$

Swart như sau : $\frac{2}{4^x+1}=\frac{1}{3^x+1}+\frac{1}{5^x+1}\geq\frac{4}{3^x+5^x+2}=>3^x+5^x>2.4^x$

 

Có xảy ra dấu "="

[bestmather]

Có xảy ra dấu "="

Có mà bạn, tại x=0 thì $3^x=5^x=1$ .

[bestmather]

Phải công nhận xem lại nó cũng không dễ cho lắm  .Lời giải của mình hơi kì cục tí.

Đặt $f(x)=(4^x+1)^2-(3^x+1)(5^x+1)$

$=>f'(x)=ln(16).16^x+2ln(4).4^x-ln(15).15^x-ln(3).3^x-ln(5).5^x=ln(16).(16^x+4^x)-ln(15).15^x-ln(3).3^x-ln(5).5^x$

Dễ dàng chứng minh bất đẳng thức sau : $ln(3).3^x+ln(5).5^x\leq ln(5).3^x+ln(3).5^x$ (Lần này là dễ thật nhé, chỉ cần chuyển vế sang thôi)

$=>2[ln(3).3^x+ln(5).5^x]\leq[ln(3)+ln(5)](3^x+5^x)=ln(15).(3^x+5^x)$

$=>f'(x)\geq ln(16)(16^x+4^x)-ln(15)(15^x+\frac{3^x+5^x}{2})\geq ln(16)[16^x+4^x-(15^x+\frac{3^x+5^x}{2})]$

Do $3^x+5^x\geq 2.4^x=>3^x+5^x-2.4^x\geq\frac{3^x+5^x}{2}-4^x=>f'(x)\geq ln(16).f(x)$

Với $x=0=>f(x)=0$ nên hàm này đồng biến, ta có điều phải chứng minh rồi nhé

chỗ này có vấn đề:

theo bạn thì ${f}'(x)\geq ln(16)f(x)$ mà $f(x)\geq f(0)=0$ nên hàm đồng biến ??????????

[dang123]

xét x>=0

$\frac{1}{3^{x}+1}+\frac{1}{5^{x}+1}\geq \frac{2}{\sqrt{15}^{x}+1}\geq \frac{2}{4^{x}+1}$  dau = xay ra khi x=0

x<0

$\frac{1}{3^{x}+1}+\frac{1}{5^{x}+1}\leq \frac{2}{\sqrt{15}^{x}+1}\leq \frac{2}{4^{x}+1}$