Giả sử $F_0$ là một field với characteristic $p>0$. Gọi $F=F_0(t_1^p, t_2^p)$, $L=F_0(t_1, t_2)$. Chứng minh rằng
a. Nếu $\alpha \in L\backslash F$, thì $[F(\alpha):F]=p$.
b. Có vô số fields $K$ thoả mãn $F\subsetneq K\subsetneq L$.
Giả sử $F_0$ là một field với characteristic $p>0$. Gọi $F=F_0(t_1^p, t_2^p)$, $L=F_0(t_1, t_2)$. Chứng minh rằng
a. Nếu $\alpha \in L\backslash F$, thì $[F(\alpha):F]=p$.
b. Có vô số fields $K$ thoả mãn $F\subsetneq K\subsetneq L$.
Giả sử $F_0$ là một field với characteristic $p>0$. Gọi $F=F_0(t_1^p, t_2^p)$, $L=F_0(t_1, t_2)$. Chứng minh rằng
a. Nếu $\alpha \in L\backslash F$, thì $[F(\alpha):F]=p$.
b. Có vô số fields $K$ thoả mãn $F\subsetneq K\subsetneq L$.
Mình đọc đến phần mở rộng đơn trong sách của Dummit, Foote có phản ví dụ cho mở rộng không đơn chính là bài này của bạn. Theo đó chỉ cần chỉ ra được |L:F|=$p^2$ là được. Mình làm khá dài, và không chắc có đúng không.
Ta thấy rằng $L=F(t_1,t_2)$ vì $F_0 \subset F$. Từ đó ta có thể tính được $|L:F|=|F(t_1)(t_2):F(t_1)|.|F(t_1):F|$. Ta có $t_1$ là nghiệm của đa thức $x^p-t_1^p$ bất khả quy trên $F$ (sử dụng tiêu chuẩn Eisenstein, đưa về xét tính bất khả quy trên $F_0[t_1^p,t_2^p]$, ta có $t_1^p$ là phần tử nguyên tố trong vành này), nên $|F(t_1):F|=p$.
Phần sau này mình không chắc chắn: ta có $t_2$ là nghiệm của đa thức bất khả quy $x^p-t_2^p$ trên $F(t_1)$ bằng cách đưa về $F[t_1,t_2^p]$ vì mình nghĩ là $F(t_1)=F(t_1,t_2^p)$, sử dụng Eisenstein, do $t_2^p$ nguyên tố. Từ đó ta có $|F(t_1)(t_2):F(t_1)|=p$.
Phần này là theo Dummit, Foote: ta suy ra được L/F không là mở rộng đơn, nếu nó là mở rộng đơn do nó là mở rộng hữu hạn nên có hữu hạn trường con của L chứa F. Như vậy $F(t_1+ct_2)=F(t_1,t_2)=L$ với c nào đó thuộc $F_0$. Ta có $(t_1+ct_2)$ là nghiệm của đa thức $x^p-(t_1^p+c^pt_2^p)$ bất khả quy (mình chưa giải thích được tại sao nó bất khả quy) nên nên $|F(t_1+ct_2):F|=p$, mâu thuẫn với $|L:F|=p^2$. Như vậy L/F không là mở rộng đơn nên b hiển nhiên. Còn ý a thì do F($\alpha$) không trùng với F và L mà $|F(\alpha):F||p^2$ nên nó phải bằng p.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 14-07-2015 - 17:51
Ta thấy rằng $L=F(t_1,t_2)$ vì $F_0 \subset F$. Từ đó ta có thể tính được $|L:F|=|F(t_1)(t_2):F(t_1)|.|F(t_1):F|$. Ta có $t_1$ là nghiệm của đa thức $x^p-t_1^p$ bất khả quy trên $F$ (sử dụng tiêu chuẩn Eisenstein, đưa về xét tính bất khả quy trên $F_0[t_1^p,t_2^p]$, ta có $t_1^p$ là phần tử nguyên tố trong vành này)
Vì sao đa thức đó bất khả quy trên $F_0[t_1^p,t_2^p]$ thì sẽ bất khả quy trên $F=F_0(t_1^p,t_2^p)$?
Đó là bổ đề Gauss. Nếu R là một U.F.D và F la trường các thương của R thì đa thức p(x) hệ số trong R mà khả quy trên F khả quy trên R. Trong trường hợp các đa thức monic thì ta suy ra đa thức bất khả quy trên R thì bất khả quy trên F. Trong đa thức trên F la trường các thương của $F_0[t_1^p,t_2^p]$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 14-07-2015 - 17:44
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh