Chủ đề này có 10 trả lời

[Watson1504]

Cho $x;y \ge 1$. Chứng minh $\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \ge \frac{2}{1+xy}$

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho $x;y \ge 1$. Chứng minh $\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \ge \frac{2}{1+xy}$

bạn có thể tham khảo ở đây http://olm.vn/hoi-da...tion/83036.html

[hoctrocuaHolmes]

Cho $x;y \ge 1$. Chứng minh $\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \geq \frac{2}{1+xy}$

Bài này biến đổi tương đương nha bạn

$\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \geq \frac{2}{1+xy}\Leftrightarrow \frac{(1+y^{2})(1+xy)+(1+x^{2})(1+xy)-2(1+x^{2})(1+y^{2})}{(1+x^{2})(1+y^{2})(1+xy)}\geq 0$ 

$\Leftrightarrow(1+y^{2})(1+xy)+(1+x^{2})(1+xy)-2(1+x^{2})(1+y^{2})\geq 0\Leftrightarrow (1+xy+y^{2}+xy^{3})+(1+xy+x^{2}+yx^{3})-2(1+x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2})\geq 0$

$\Leftrightarrow (xy-1)(x-y)^{2}\geq 0$ (luôn đúng vì $x;y\geq 1\Rightarrow xy-1\geq 0$)

Vậy BDT đã được chứng minh

[ngocanhnguyen10]

Cho $x;y \ge 1$. Chứng minh $\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \ge \frac{2}{1+xy}$

Bài này tương tự nè. Cùng giải nhé!:

Cho $x;y;z\geq 1$. CM:

$\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}\geq \frac{3}{1+xyz}$

[Watson1504]

Bài này tương tự nè. Cùng giải nhé!:
Cho $x;y;z\geq 1$. CM:
$\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}\geq \frac{3}{1+xyz}$

Hình như chỗ mẫu $x,y,z$ phải là mũ 3 .Áp dụng bài trên , ta có:
$\frac{1}{1+x^3} + \frac{1}{1+y^3}$ $\ge \frac{2}{1+\sqrt{x^3+y^3}}$
$\frac{1}{1+z^3}+\frac{1}{1+xyz}$ $\ge \frac{2}{1+\sqrt{xyz^4}}$
$\Rightarrow$ $\frac{1}{1+x^3}+\frac{1}{1+y^3}+\frac{1}{1+z^3}+\frac{1}{1+xyz}$ $\ge 2(\frac{1}{1+\sqrt{x^3+y^3}}+\frac{1}{1+\sqrt{xyz^4}})$ $\ge 2.\frac{2}{1+\sqrt[4]{x^3y^3xyz^4}}=\frac{4}{1+xyz}$
$\Leftrightarrow$ $\frac{1}{1+x^3}+\frac{1}{1+y^3}+\frac{1}{1+z^3} \ge \frac{3}{1+xyz}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Watson1504: 04-06-2015 - 21:43

[Watson1504]

:D:D:D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Watson1504: 04-06-2015 - 21:46

[ngocanhnguyen10]

Hình như chỗ mẫu $x,y,z$ phải là mũ 3 .Áp dụng bài trên , ta có:
$\frac{1}{1+x^3} + \frac{1}{1+y^3}$ $\ge \frac{2}{1+\sqrt{x^3+y^3}}$
$\frac{1}{1+z^3}+\frac{1}{1+xyz}$ $\ge \frac{2}{1+\sqrt{xyz^4}}$
$\Rightarrow$ $\frac{1}{1+x^3}+\frac{1}{1+y^3}+\frac{1}{1+z^3}+\frac{1}{1+xyz}$ $\ge 2(\frac{1}{1+\sqrt{x^3+y^3}}+\frac{1}{1+\sqrt{xyz^4}})$ $\ge 2.\frac{2}{1+\sqrt[4]{x^3y^3xyz^4}}=\frac{4}{1+xyz}$
$\Leftrightarrow$ $\frac{1}{1+x^3}+\frac{1}{1+y^3}+\frac{1}{1+z^3} \ge \frac{3}{1+xyz}$

Không đâu bạn ơi! Đề thế là đúng rồi

Áp dụng bài CM trước ta có: $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\geq \frac{2}{1+xy}$         ₍₁₎

CM được $\frac{2}{1+xy}\geq \frac{2}{1+xyz}$  ₍₂₎  (vì $x;y;z\geq 1$

Từ ₍₁₎ và ₍₂₎ => $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\geq \frac{2}{1+xyz}$    ₍₃₎

 CM tương tự ta cũng có: $\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}\geq \frac{2}{1+xyz}$    ₍₄₎

                                                      $\frac{1}{1+z^{2}}+\frac{1}{1+x^{2}}\geq \frac{2}{1+xyz}$    ₍₅₎

Cộng theo từng vế của _{(3); (4); (5)} ta có:

                               $2.\left ( \frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}} \right )\geq \frac{6}{1+xyz}$

                            => $\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2} \ge \frac{3}{1+xyz}$

    Dấu "=" xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x=y=z=0 & & \\ x=y=z=1& & \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanhnguyen10: 05-06-2015 - 13:05

[Quoc Tuan Qbdh]

Bài này tương tự nè. Cùng giải nhé!:

Cho $x;y;z\geq 1$. CM:

$\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}\geq \frac{3}{1+xyz}$

Góp vui   

Cho $x,y,z,t >0 thỏa x \leq y\leq z\leq t và yt \leq 1 CMR: \sum \frac{1}{1+x}\leq \frac{4}{1+\sqrt[4]{xyzt}}$

[Hoang Nhat Tuan]

Góp vui   

Cho $x,y,z,t >0 thỏa x \leq y\leq z\leq t và yt \leq 1 CMR: \sum \frac{1}{1+x}\leq \frac{4}{1+\sqrt[4]{xyzt}}$

Chắc là giải như thế này:$1\geq yt\geq xz$

$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+z}\leq \frac{2}{1+\sqrt{xz}}$

Và: $\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+t}\leq \frac{2}{1+\sqrt{yt}}$

Áp dụng thêm 1 lần nữa => ĐPCM

[toanhoc12345]

Bài này biến đổi tương đương nha bạn

$\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \geq \frac{2}{1+xy}\Leftrightarrow \frac{(1+y^{2})(1+xy)+(1+x^{2})(1+xy)-2(1+x^{2})(1+y^{2})}{(1+x^{2})(1+y^{2})(1+xy)}\geq 0$ 

$\Leftrightarrow(1+y^{2})(1+xy)+(1+x^{2})(1+xy)-2(1+x^{2})(1+y^{2})\geq 0\Leftrightarrow (1+xy+y^{2}+xy^{3})+(1+xy+x^{2}+yx^{3})-2(1+x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2})\geq 0$

$\Leftrightarrow (xy-1)(x-y)^{2}\geq 0$ (luôn đúng vì $x;y\geq 1\Rightarrow xy-1\geq 0$)

Vậy BDT đã được chứng minh

cho con hỏi lại từ dấu tương đương 3 sang 4

[ngocanhnguyen10]

cho con hỏi lại từ dấu tương đương 3 sang 4

 

$(1+xy+y^{2}+xy^{3})+(1+xy+x^{2}+yx^{3})-2(1+x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2})\geq 0$

$\Leftrightarrow 1+xy+y^{2}+xy^{3}+1+xy+yx^{3}-2-2x^{2}-2y^{2}-2x^{2}y^{2}\geq 0$

$ \Leftrightarrow 2xy-y^{2}+xy^{3}-x^{2}+yx^{3}-2x^{2}y^{2}\geq 0$

 

$ \Leftrightarrow y^{2}(xy-1)+x^{2}(xy-1)-2xy(xy-1)\geq 0$ 

$ \Leftrightarrow (xy-1)(x-y)^{2}\geq 0$