Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $\sum \frac{a^3-b^3}{(a-b)^3} \geq \frac{9}{4}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
arsfanfc

arsfanfc

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết

Chứng minh $\sum \frac{a^3-b^3}{(a-b)^3} \geq \frac{9}{4}$ với $a,b,c$ từng đôi một khác nhau :D


~YÊU ~


#2
Chris yang

Chris yang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết

Chứng minh $\sum \frac{a^3-b^3}{(a-b)^3} \geq \frac{9}{4}$ với $a,b,c$ từng đôi một khác nhau :D

Ta có $A=\sum \frac{a^3-b^3}{(a-b)^3}=\sum \frac{a^2+ab+b^2}{(a-b)^2}=\sum \frac{\frac{3}{4}(a+b)^2+\frac{1}{4}(a-b)^2}{(a-b)^2 }\geq \frac{9}{4}\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{a+b}{a-b} \right )^2\geq 2$

 

Điều này hiển nhiên vì $\sum \left ( \frac{a+b}{a-b} \right )^2=\left ( \frac{a+b}{a-b}+\frac{b+c}{b-c}+\frac{c+a}{c-a} \right )^2- 2\sum \frac{(a+b)(b+c)}{(a-b)(b-c)}\geq -2\sum \frac{(a+b)(b+c)}{(a-b)(b-c)}=2$

 

Đẳng thức xảy ra tại $\sum\frac{(a+b)}{(a-b)}=0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 05-06-2015 - 22:21


#3
hoctrocuaZel

hoctrocuaZel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1162 Bài viết

Ta có $A=\sum \frac{a^3-b^3}{(a-b)^3}=\sum \frac{a^2+ab+b^2}{(a-b)^2}=\sum \frac{\frac{3}{4}(a+b)^2+\frac{1}{4}(a-b)^2}{(a-b)^2 }\geq \frac{9}{4}\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{a+b}{a-b} \right )^2\geq 2$

 

Điều này hiển nhiên vì $\sum \left ( \frac{a+b}{a-b} \right )^2=\left ( \frac{a+b}{a-b}+\frac{b+c}{b-c}+\frac{c+a}{c-a} \right )^2- 2\sum \frac{(a+b)(b+c)}{(a-b)(b-c)}\geq -2\sum \frac{(a+b)(b+c)}{(a-b)(b-c)}=2$

 

Đẳng thức xảy ra tại $\sum\frac{(a+b)(b+c)}{(a-b)(b-c)}=0$

Lời giải rất tuyệt vời.

Vận dụng 1 BĐT đề thi HSG VĨnh phúc :v :3


Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
:(

#4
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Tương tự nha! Chỉ đổi biến thôi!

 

Ta có đẳng thức: $\frac{x+y}{x-y}.\frac{y+z}{y-z}+\frac{y+z}{y-z}.\frac{z+x}{z-x}+\frac{z+x}{z-x}. \frac{x+y}{x-y} =-1$

Ta luôn có: $(\frac{x+y}{x-y}+\frac{y+z}{y-z}+\frac{z+x}{z-x})^2\geqslant 0$

$\Leftrightarrow \sum (\frac{x+y}{x-y})^2+2(\frac{x+y}{x-y}.\frac{y+z}{y-x}+\frac{y+z}{y-z}.\frac{z+x}{z-x}+\frac{z+x}{z-x}.\frac{x+y}{x-y})\geqslant 0$

Vậy $\sum (\frac{x+y}{x-y})^2\geqslant 2 $(*)

hay $\sum \frac{x^2+y^2}{(x-y)^2}\geqslant \frac{5}{2}$ (1)

Trừ 3 cho hai vế của (*), ta được:$ \sum ((\frac{x+y}{x-y})^2-1)\geqslant -1\Leftrightarrow \sum \frac{4xy}{(x-y)^2}\geqslant -1\Leftrightarrow  \sum \frac{xy}{(x-y)^2}\geqslant \frac{-1}{4}$ (2)

Cộng theo vế hai BĐT (1) và (2), ta được: $\sum \frac{x^2+y^2+xy}{(x-y)^2}\geqslant \frac{9}{4}\Leftrightarrow \sum \frac{(x-y)(x^2+y^2+xy)}{(x-y)^3}\geqslant \frac{9}{4}\Rightarrow Q.E.D$

Đẳng thức xảy ra khi $\frac{x+y}{x-y}+\frac{y+z}{y-z}+\frac{z+x}{z-x}=0$

 


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh