Đến nội dung

Hình ảnh

$f(xf(y))=yf(2x)$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Nguyen Giap Phuong Duy

Nguyen Giap Phuong Duy

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết
Tìm tất cả hàm đơn điệu $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sao cho $f(xf(y))=yf(2x), \forall x,y \in \mathbb{R}$


#2
cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết

dễ thấy f(1)=2 khi thay y=1 
nếu f(1/2)=t >1 thay y=1/2 thì ta có f(tx)=1/2f(2x) do t>1 nên f(tx)>f(x) suy ra 2f(x)<f(2x) thay x=1/2 ta có f(1)>2f(1/2) suy ra 2>2t suy ra t<1 vô lý

nếu t<1 cũng tương tự ta có f(x) >1/2f(2x)  suy ra 2t>2 vô lý vậy f(1/2)=1 chú ý do f(0)=0 mà f(1)=2 nên f(x) >0 với mọi x>0

đến đây dễ rồi cho y=1/2 ta có 2f(x)=f(2x)
có ngay f(2)=4 cho x=1 thì có f(f(y)=4y 
thay y bới f(y) vào đầu bài được f(x.4y)=2f(y).f(2x)

đặt f(x)=2.g(x) thì có g(xy)=g(x).g(y) hàm cơ bản đơn điệu thì có ngay g(x)=x suy ra f(x)=2x với mọi x thuộc R



#3
tunglamlqddb

tunglamlqddb

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 148 Bài viết

dễ thấy f(1)=2 khi thay y=1 
nếu f(1/2)=t >1 thay y=1/2 thì ta có f(tx)=1/2f(2x) do t>1 nên f(tx)>f(x) suy ra 2f(x)<f(2x) thay x=1/2 ta có f(1)>2f(1/2) suy ra 2>2t suy ra t<1 vô lý
nếu t<1 cũng tương tự ta có f(x) >1/2f(2x)  suy ra 2t>2 vô lý vậy f(1/2)=1 chú ý do f(0)=0 mà f(1)=2 nên f(x) >0 với mọi x>0
đến đây dễ rồi cho y=1/2 ta có 2f(x)=f(2x)
có ngay f(2)=4 cho x=1 thì có f(f(y)=4y 
thay y bới f(y) vào đầu bài được f(x.4y)=2f(y).f(2x)
đặt f(x)=2.g(x) thì có g(xy)=g(x).g(y) hàm cơ bản đơn điệu thì có ngay g(x)=x suy ra f(x)=2x với mọi x thuộc R


dễ thấy f(1)=2 khi thay y=1, chỗ đấy mình ko hiểu, bạn giải thích hộ mình với!

#4
cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết

cho y=1 thì f(xf(1))=f(2x) do hàm đon điệu nên xf(1)=2x






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh