Chủ đề này có 1 trả lời

[gbao198]

$\left\{\begin{matrix} log_{2}(1+3x)=log_3y+2\\log_{2}(1+3y)=log_3x+2 \end{matrix}\right.$

[E. Galois]

$\left\{\begin{matrix} log_{2}(1+3x)=log_3y+2\\log_{2}(1+3y)=log_3x+2 \end{matrix}\right.$

ĐK: $x,y>0$

Trừ theo vế hai phương trình của hệ, ta có:

$$ \log_{2}(1+3x)+\log_3x= \log_{2}(1+3y)+ \log_3y$$

Dễ thấy hàm số $f(t)=\log_{2}(1+3t)+ \log_3t$ đồng biến trên $(0;+\infty)$ nên ta suy ra $x=y$

Thay vào phương trình đầu của hệ. Ta có:

$$log_{2}(1+3x)=log_3x+2$$

Đặt $log_{2}(1+3x)=u; log_3x=v$, ta có hệ phương trình:

$$\begin{cases} u=v+2 \\ 1+3.3^v = 2^u \end{cases}$$

Do đó:

$$1+3.3^v=4.2^v$$

Chia cả hai vế cho $2^v$ và xét hàm số $g(t)=\left( \frac{1}{2} \right)^t +3\left( \frac{3}{2} \right)^t$ là xong