Đến nội dung

Hình ảnh

Cho dãy $u_n=\sum_{k=0}^{2n} \frac{1}{n^2+k}$, Tính tổng...

- - - - - sequences summation floor function

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết

Cho dãy số: $\qquad u_n=\sum_{k=0}^{2n} \frac{1}{n^2+k}\qquad (n=1,2,...)$

 

Tính tổng: $ \quad S_n=\sum_{k=1}^n \left\lfloor\frac{2}{u_k}\right\rfloor $



#2
Karl Heinrich Marx

Karl Heinrich Marx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 321 Bài viết

Cho dãy số: $\qquad u_n=\sum_{k=0}^{2n} \frac{1}{n^2+k}\qquad (n=1,2,...)$

 

Tính tổng: $ \quad S_n=\sum_{k=1}^n \left\lfloor\frac{2}{u_k}\right\rfloor $

Bài toán mới nhìn vào có vẻ hơi đáng sợ nhưng bình tĩnh một chút đánh giá khách quan thì kiểu toán này chỉ có cách chặn 2 đầu thôi.

Ta có:

$$ \sum_{k=0}^{2n}\frac{1}{n^2}>u_n=\sum_{k=0}^{2n} \frac{1}{n^2+k}>\sum_{k=0}^{2n}\frac{1}{(n+1)^2} \Rightarrow \frac{2n+1}{n^2}>u_n>\frac{2n+1}{(n+1)^2}$$

Tuy nhiên đến đây mà chia 2 lật ngược lại thì chưa đạt được điều ta mong muốn, bây giờ ta cần một điều chặt hơn một chút là

$$ \frac{2n}{n^2}>u_n>\frac{2n+2}{(n+1)^2}$$

Tức là ta cần một tổng $i+1$ số hạng trong sigma biểu diễn $u_n$ có tổng bé hơn $\frac{i}{n^2}$ tức là $i+1$ số này đều không nhỏ hơn $\frac{i+1}{i}.n^2$, tự nhiên ta thử với $i=n$ thì đúng luôn chọn các số từ $n(n+1)$ đến $n(n+2)$. Như vậy ta viết lại $u_n$

$$ u_n=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n^2+k}+\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{n^2+k}<n.\frac{1}{n^2}+(n+1).\frac{1}{n(n+1)}=\frac{2}{n}$$

$$ u_n=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n^2+k}+\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{n^2+k}>n.\frac{1}{n(n+1)}+(n+1).\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{2}{n+1}$$

Do vậy $n<\frac{2}{u_n}<n+1$

Suy ra $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: sequences, summation, floor function

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh