Gieo đồng thời ba con súc sắc. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của ba con súc sắc bằng 10.
Gieo đồng thời ba con súc sắc. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của ba con súc sắc bằng 10.
#1
Đã gửi 10-06-2015 - 10:46
#2
Đã gửi 10-06-2015 - 12:37
Gieo đồng thời ba con súc sắc. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của ba con súc sắc bằng 10.
Đặt $x_{i}$ là số chấm trên mặt xuất hiện của ba con súc sắc, ta có:
$x_{1}+x_{2}+x_{3}=10 $ với $1\leq x_{i}\leq 6$
Đổi biến ta được:
$y_{1}+y_{2}+y_{3}=7 $ với $0\leq y_{i}$
$\rightarrow$ Số khả năng tổng số chấm trên mặt xuất hiện của ba con súc sắc bằng 10 là:
$C_{9}^{2}-C_{3}^{1}=33$
Xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của ba con súc sắc bằng 10 là:
$\frac{33}{6^{3}}=\frac{11}{72}$
- hxthanh yêu thích
Xê ra, để người ta làm Toán sĩ!
#3
Đã gửi 10-06-2015 - 16:58
Gieo đồng thời ba con súc sắc. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của ba con súc sắc bằng 10.
Đánh số 3 con xúc sắc (1,2,3) và gọi $x_1,x_2,x_3$ là số chấm tương ứng của chúng.
$x_1+x_2+x_3=10$ với $1\leqslant x_1,x_2,x_3\leqslant 6$
Đặt $y_i=x_i-1 \Rightarrow 0\leqslant y_i\leqslant 5$ (với $i=\overline{1,3}$)
$y_1+y_2+y_3=7$ (*)
Số bộ ba số nguyên không âm (có tính đến thứ tự) thỏa mãn (*) là $C_{9}^{2}$
Trong đó :
- Số bộ ba có chứa số $7$ là $C_{3}^{1}$
- Số bộ ba có chứa số $6$ là $2C_{3}^{1}$ (có $C_{3}^{1}$ cách chọn vị trí số 6 ; $2$ cách điền vào 2 vị trí còn lại)
$\Rightarrow$ số bộ ba nguyên từ $0$ đến $5$ (có tính đến thứ tự) thỏa mãn (*) là $C_{9}^{2}-3C_{3}^{1}=27$
Xác suất để tổng số chấm trên 3 con xúc sắc bằng $10$ là $\frac{27}{6^3}=\frac{1}{8}$.
- hxthanh, hoangtubongdem5, gianglqd và 2 người khác yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#4
Đã gửi 10-06-2015 - 22:53
Đánh số 3 con xúc sắc (1,2,3) và gọi $x_1,x_2,x_3$ là số chấm tương ứng của chúng.
$x_1+x_2+x_3=10$ với $1\leqslant x_1,x_2,x_3\leqslant 6$
Đặt $y_i=x_i-1 \Rightarrow 0\leqslant y_i\leqslant 5$ (với $i=\overline{1,3}$)
$y_1+y_2+y_3=7$ (*)
Số bộ ba số nguyên không âm (có tính đến thứ tự) thỏa mãn (*) là $C_{9}^{2}$
Trong đó :
- Số bộ ba có chứa số $7$ là $C_{3}^{1}$
- Số bộ ba có chứa số $6$ là $2C_{3}^{1}$ (có $C_{3}^{1}$ cách chọn vị trí số 6 ; $2$ cách điền vào 2 vị trí còn lại)
$\Rightarrow$ số bộ ba nguyên từ $0$ đến $5$ (có tính đến thứ tự) thỏa mãn (*) là $C_{9}^{2}-3C_{3}^{1}=27$
Xác suất để tổng số chấm trên 3 con xúc sắc bằng $10$ là $\frac{27}{6^3}=\frac{1}{8}$.
Thuyết phục hoàn toàn!
(Mình giải sai rùi... vì ẩn $ y\leq 5$ nên xét thiếu TH có $1 $ ẩn bằng $6$)
Xê ra, để người ta làm Toán sĩ!
#5
Đã gửi 10-06-2015 - 23:54
Thử đếm số bộ nguyên dương $S=\{(x_1,x_2,x_3) \;\;|\;x_1+x_2+x_3=10;\; 1\le x_1,x_2,x_3 \le 6 \}$
theo cách sau:
$\begin{cases}x_1+x_2=10-x_3=k\\ 1\le x_3\le 6\end{cases}\Rightarrow 4\le k\le 9$
$\Rightarrow \begin{cases}x_1=k-x_2\\ 4\le k\le 9\\ 1\le x_2\le 6\end{cases}\Rightarrow \max\{k-6,1\}\le x_1\le \min\{k-1,6\}$
$|S|=\sum_{k=4}^9(\min\{k-1,6\}-\max\{k-6,1\}+1)=\sum_{k=4}^7 (k-1-1+1)+\sum_{k=8}^9(6-(k-6)+1)$
$\quad =(3+4+5+6)+(5+4)=27$
Mình đúng là thích phức tạp hóa vấn đề!
- chanhquocnghiem và Nobodyv3 thích
#6
Đã gửi 16-01-2017 - 17:44
Đánh số 3 con xúc sắc (1,2,3) và gọi $x_1,x_2,x_3$ là số chấm tương ứng của chúng.
$x_1+x_2+x_3=10$ với $1\leqslant x_1,x_2,x_3\leqslant 6$
Đặt $y_i=x_i-1 \Rightarrow 0\leqslant y_i\leqslant 5$ (với $i=\overline{1,3}$)
$y_1+y_2+y_3=7$ (*)
Số bộ ba số nguyên không âm (có tính đến thứ tự) thỏa mãn (*) là $C_{9}^{2}$
Trong đó :
- Số bộ ba có chứa số $7$ là $C_{3}^{1}$
- Số bộ ba có chứa số $6$ là $2C_{3}^{1}$ (có $C_{3}^{1}$ cách chọn vị trí số 6 ; $2$ cách điền vào 2 vị trí còn lại)
$\Rightarrow$ số bộ ba nguyên từ $0$ đến $5$ (có tính đến thứ tự) thỏa mãn (*) là $C_{9}^{2}-3C_{3}^{1}=27$
Xác suất để tổng số chấm trên 3 con xúc sắc bằng $10$ là $\frac{27}{6^3}=\frac{1}{8}$.
Bạn cho mình hỏi một chút là vì sao số bộ ba có chứa số 7 là $C_{3}^{1}$ và số bộ 3 có chứa số 6 là $2C_{3}^{1}$ vậy. Mình cảm ơn bạn nhiều
#7
Đã gửi 15-10-2022 - 22:15
Còn có em nữa thầy ơi!Thử đếm số bộ nguyên dương $S=\{(x_1,x_2,x_3) \;\;|\;x_1+x_2+x_3=10;\; 1\le x_1,x_2,x_3 \le 6 \}$
theo cách sau:
$\begin{cases}x_1+x_2=10-x_3=k\\ 1\le x_3\le 6\end{cases}\Rightarrow 4\le k\le 9$
$\Rightarrow \begin{cases}x_1=k-x_2\\ 4\le k\le 9\\ 1\le x_2\le 6\end{cases}\Rightarrow \max\{k-6,1\}\le x_1\le \min\{k-1,6\}$
$|S|=\sum_{k=4}^9(\min\{k-1,6\}-\max\{k-6,1\}+1)=\sum_{k=4}^7 (k-1-1+1)+\sum_{k=8}^9(6-(k-6)+1)$
$\quad =(3+4+5+6)+(5+4)=27$
Mình đúng là thích phức tạp hóa vấn đề!
Thử đếm số bộ nguyên dương $S=\{(x_1,x_2,x_3) \;\;|\;x_1+x_2+x_3=10;\; 1\le x_1,x_2,x_3 \le 6 \}$
theo cách sau :
Xét :
$f(x)=\left (\frac{x-x^7}{1-x} \right )^3=x^3\left ( 1-x^6 \right )^3\left ( 1-x \right )^{-3}$
Số bộ 3 nguyên dương là:
$[x^{10}]f(x)=[x^7]\left (1-x^6 \right )^3\sum_{k=0}^{\infty }\binom{-3}{k}\left ( -x \right )^k=\left ( [x^7]-3[x^1]+h(x) \right )\sum_{k=0}^{\infty }\binom{k+2}{2}x^k=\binom{9}{2}-3\binom{3}{2}=36-9=27$
- hxthanh và DOTOANNANG thích
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
#8
Đã gửi 13-05-2023 - 23:18
Vì các số liệu vào tương đối nhỏ, nên ta tính theo casework .
Có các bộ số xuất hiện trên 3 xúc xắc :
$\begin {align*}
(1\,3\,6)\Rightarrow 3!=6 \\
(1\,4\,5)\Rightarrow 3!=6\\
(2\,2\,6)\Rightarrow 3!/2!=3\\
(2\,3\,5)\Rightarrow 3!=6\\
(2\,4\,4)\Rightarrow 3!/2!=3\\
(3\,3\,4)\Rightarrow 3!/2!=3
\end {align*}$
Do đó XS cần tính là :
$\frac {6\cdot 3+3\cdot 3}{6^3}=\frac {27}{6^3}=\frac {1}{8}$
- hxthanh yêu thích
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
#9
Đã gửi 31-05-2023 - 13:39
Ta có hàm sinh xác suất :
$$f(x)=\left (\frac {1}{6}(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)\right) ^3$$Suy ra XS cần tìm là :
$[x^{10}]f(x)=\frac {1}{8}$
- DOTOANNANG yêu thích
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh