Đến nội dung

Hình ảnh

Gieo đồng thời ba con súc sắc. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của ba con súc sắc bằng 10.

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
disonline

disonline

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 48 Bài viết

Gieo đồng thời ba con súc sắc. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của ba con súc sắc bằng 10.



#2
Kofee

Kofee

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết

Gieo đồng thời ba con súc sắc. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của ba con súc sắc bằng 10.

Đặt $x_{i}$ là số chấm trên mặt xuất hiện của ba con súc sắc, ta có:

$x_{1}+x_{2}+x_{3}=10 $ với $1\leq x_{i}\leq 6$

Đổi biến ta được:

$y_{1}+y_{2}+y_{3}=7 $ với $0\leq y_{i}$

$\rightarrow$ Số khả năng tổng số chấm trên mặt xuất hiện của ba con súc sắc bằng 10 là:

$C_{9}^{2}-C_{3}^{1}=33$

Xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của ba con súc sắc bằng 10 là:

$\frac{33}{6^{3}}=\frac{11}{72}$


Xê ra, để người ta làm Toán sĩ!


#3
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Gieo đồng thời ba con súc sắc. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của ba con súc sắc bằng 10.

Đánh số 3 con xúc sắc (1,2,3) và gọi $x_1,x_2,x_3$ là số chấm tương ứng của chúng.

$x_1+x_2+x_3=10$ với $1\leqslant x_1,x_2,x_3\leqslant 6$

Đặt $y_i=x_i-1 \Rightarrow 0\leqslant y_i\leqslant 5$ (với $i=\overline{1,3}$)

$y_1+y_2+y_3=7$ (*)

Số bộ ba số nguyên không âm (có tính đến thứ tự) thỏa mãn (*) là $C_{9}^{2}$

Trong đó :

- Số bộ ba có chứa số $7$ là $C_{3}^{1}$

- Số bộ ba có chứa số $6$ là $2C_{3}^{1}$ (có $C_{3}^{1}$ cách chọn vị trí số 6 ; $2$ cách điền vào 2 vị trí còn lại)

$\Rightarrow$ số bộ ba nguyên từ $0$ đến $5$ (có tính đến thứ tự) thỏa mãn (*) là $C_{9}^{2}-3C_{3}^{1}=27$

 

Xác suất để tổng số chấm trên 3 con xúc sắc bằng $10$ là $\frac{27}{6^3}=\frac{1}{8}$.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#4
Kofee

Kofee

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết

Đánh số 3 con xúc sắc (1,2,3) và gọi $x_1,x_2,x_3$ là số chấm tương ứng của chúng.

$x_1+x_2+x_3=10$ với $1\leqslant x_1,x_2,x_3\leqslant 6$

Đặt $y_i=x_i-1 \Rightarrow 0\leqslant y_i\leqslant 5$ (với $i=\overline{1,3}$)

$y_1+y_2+y_3=7$ (*)

Số bộ ba số nguyên không âm (có tính đến thứ tự) thỏa mãn (*) là $C_{9}^{2}$

Trong đó :

- Số bộ ba có chứa số $7$ là $C_{3}^{1}$

- Số bộ ba có chứa số $6$ là $2C_{3}^{1}$ (có $C_{3}^{1}$ cách chọn vị trí số 6 ; $2$ cách điền vào 2 vị trí còn lại)

$\Rightarrow$ số bộ ba nguyên từ $0$ đến $5$ (có tính đến thứ tự) thỏa mãn (*) là $C_{9}^{2}-3C_{3}^{1}=27$

 

Xác suất để tổng số chấm trên 3 con xúc sắc bằng $10$ là $\frac{27}{6^3}=\frac{1}{8}$.

Thuyết phục hoàn toàn! :namtay

(Mình giải sai rùi... :luoi: vì ẩn $ y\leq 5$ nên xét thiếu TH có $1 $ ẩn bằng $6$)


Xê ra, để người ta làm Toán sĩ!


#5
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết

Thử đếm số bộ nguyên dương $S=\{(x_1,x_2,x_3) \;\;|\;x_1+x_2+x_3=10;\; 1\le x_1,x_2,x_3 \le 6 \}$

theo cách sau:

$\begin{cases}x_1+x_2=10-x_3=k\\ 1\le x_3\le 6\end{cases}\Rightarrow 4\le k\le 9$

$\Rightarrow \begin{cases}x_1=k-x_2\\ 4\le k\le 9\\ 1\le x_2\le 6\end{cases}\Rightarrow \max\{k-6,1\}\le x_1\le \min\{k-1,6\}$

 

$|S|=\sum_{k=4}^9(\min\{k-1,6\}-\max\{k-6,1\}+1)=\sum_{k=4}^7 (k-1-1+1)+\sum_{k=8}^9(6-(k-6)+1)$

$\quad =(3+4+5+6)+(5+4)=27$

 

Mình đúng là thích phức tạp hóa vấn đề! :))



#6
hoangtubongdem5

hoangtubongdem5

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đánh số 3 con xúc sắc (1,2,3) và gọi $x_1,x_2,x_3$ là số chấm tương ứng của chúng.

$x_1+x_2+x_3=10$ với $1\leqslant x_1,x_2,x_3\leqslant 6$

Đặt $y_i=x_i-1 \Rightarrow 0\leqslant y_i\leqslant 5$ (với $i=\overline{1,3}$)

$y_1+y_2+y_3=7$ (*)

Số bộ ba số nguyên không âm (có tính đến thứ tự) thỏa mãn (*) là $C_{9}^{2}$

Trong đó :

- Số bộ ba có chứa số $7$ là $C_{3}^{1}$

- Số bộ ba có chứa số $6$ là $2C_{3}^{1}$ (có $C_{3}^{1}$ cách chọn vị trí số 6 ; $2$ cách điền vào 2 vị trí còn lại)

$\Rightarrow$ số bộ ba nguyên từ $0$ đến $5$ (có tính đến thứ tự) thỏa mãn (*) là $C_{9}^{2}-3C_{3}^{1}=27$

 

Xác suất để tổng số chấm trên 3 con xúc sắc bằng $10$ là $\frac{27}{6^3}=\frac{1}{8}$.

 

Bạn cho mình hỏi một chút là vì sao số bộ ba có chứa số 7 là  $C_{3}^{1}$ và số bộ 3 có chứa số 6 là $2C_{3}^{1}$ vậy. Mình cảm ơn bạn nhiều

 



#7
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết

Thử đếm số bộ nguyên dương $S=\{(x_1,x_2,x_3) \;\;|\;x_1+x_2+x_3=10;\; 1\le x_1,x_2,x_3 \le 6 \}$
theo cách sau:
$\begin{cases}x_1+x_2=10-x_3=k\\ 1\le x_3\le 6\end{cases}\Rightarrow 4\le k\le 9$
$\Rightarrow \begin{cases}x_1=k-x_2\\ 4\le k\le 9\\ 1\le x_2\le 6\end{cases}\Rightarrow \max\{k-6,1\}\le x_1\le \min\{k-1,6\}$
 
$|S|=\sum_{k=4}^9(\min\{k-1,6\}-\max\{k-6,1\}+1)=\sum_{k=4}^7 (k-1-1+1)+\sum_{k=8}^9(6-(k-6)+1)$
$\quad =(3+4+5+6)+(5+4)=27$
 
Mình đúng là thích phức tạp hóa vấn đề! :))

Còn có em nữa thầy ơi!
Thử đếm số bộ nguyên dương $S=\{(x_1,x_2,x_3) \;\;|\;x_1+x_2+x_3=10;\; 1\le x_1,x_2,x_3 \le 6 \}$
theo cách sau :
Xét :
$f(x)=\left (\frac{x-x^7}{1-x} \right )^3=x^3\left ( 1-x^6 \right )^3\left ( 1-x \right )^{-3}$
Số bộ 3 nguyên dương là:
$[x^{10}]f(x)=[x^7]\left (1-x^6 \right )^3\sum_{k=0}^{\infty }\binom{-3}{k}\left ( -x \right )^k=\left ( [x^7]-3[x^1]+h(x) \right )\sum_{k=0}^{\infty }\binom{k+2}{2}x^k=\binom{9}{2}-3\binom{3}{2}=36-9=27$
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#8
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
Cách khác :
Vì các số liệu vào tương đối nhỏ, nên ta tính theo casework .
Có các bộ số xuất hiện trên 3 xúc xắc :
$\begin {align*}
(1\,3\,6)\Rightarrow 3!=6 \\
(1\,4\,5)\Rightarrow 3!=6\\
(2\,2\,6)\Rightarrow 3!/2!=3\\
(2\,3\,5)\Rightarrow 3!=6\\
(2\,4\,4)\Rightarrow 3!/2!=3\\
(3\,3\,4)\Rightarrow 3!/2!=3
\end {align*}$
Do đó XS cần tính là :
$\frac {6\cdot 3+3\cdot 3}{6^3}=\frac {27}{6^3}=\frac {1}{8}$
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#9
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
Hoặc là :
Ta có hàm sinh xác suất :
$$f(x)=\left (\frac {1}{6}(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)\right) ^3$$Suy ra XS cần tìm là :
$[x^{10}]f(x)=\frac {1}{8}$
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh