Chủ đề này có 5 trả lời

[socnho]

Cho 100 số tự nhiên a₁; a₂; ....; a₁₀₀ thỏa mãn: $\frac{1}{\sqrt{a_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{2}}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{100}}}=19$. CMR: Trong 100 số tự nhiên đó, tồn tại 2 số bằng nhau.

[hxthanh]

Gợi ý:

$\frac{1}{\sqrt k}=\frac{2}{\sqrt k+\sqrt k}<\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}=2\sqrt{k}-2\sqrt{k-1}$

Gợi ý:

$\frac{1}{\sqrt 2}+\frac{1}{\sqrt 3}+...+\frac{1}{\sqrt n}<2\sqrt n -2$

Suy ra

$A\le \frac{1}{\sqrt 1}+\frac{1}{\sqrt 2}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}<2\sqrt{100}-2+1=19$

Gợi ý:

Như vậy theo phản chứng thì tồn tại 2 số bằng nhau, nhưng cho dù là vậy muốn tìm bộ các số tự nhiên $(a_1, a_2,...,a_{100})$

sao cho:

$A= \frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{100}}}=19$

chưa chắc đã tìm được (mà cũng có thể không tồn tại!)

[Karl Heinrich Marx]

Gợi ý:

$\frac{1}{\sqrt k}=\frac{2}{\sqrt k+\sqrt k}<\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}=2\sqrt{k}-2\sqrt{k-1}$

Gợi ý:

$\frac{1}{\sqrt 2}+\frac{1}{\sqrt 3}+...+\frac{1}{\sqrt n}<2\sqrt n -2$

Suy ra

$A\le \frac{1}{\sqrt 1}+\frac{1}{\sqrt 2}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}<2\sqrt{100}-2+1=19$

Gợi ý:

Như vậy theo phản chứng thì tồn tại 2 số bằng nhau, nhưng cho dù là vậy muốn tìm bộ các số tự nhiên $(a_1, a_2,...,a_{100})$

sao cho:

$A= \frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{100}}}=19$

chưa chắc đã tìm được (mà cũng có thể không tồn tại!)

Haha dĩ nhiên là tìm được chứ thầy, vd lấy 90 số 25 và 10 số 100 thì có tổng bằng 19 rồi :v

Nhưng mà em hiểu ý của thầy, bài toán này câu hỏi đặt ra chỉ là vì mục đích che giấu cái bđt thầy đã nêu ra để đánh đố người khác. Cái này phù hợp vs thi cử

Tuy nhiên ta thử đặt ra những vấn đề mới đi vào trọng tâm xem thế nào.

Ví dụ thế này, tìm tất cả số tự nhiên $n$ có thể biểu diễn được dưới dạng

$$\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{100}}}$$

trong đó $a_1,a_2,..,a_{100}$ là các số tự nhiên phân biệt.

Hoặc là tìm tất cả các số tự nhiên $n$ mà tồn tại $k$ tự nhiên để

$$n=\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_k}}$$

trong đó $a_1,a_2,..,a_{k}$ là các số tự nhiên phân biệt.

Khó hơn một chút thì là với mỗi số nguyên dương $t$, hỏi có những số tự nhiên $n$ nào mà thỏa mãn tồn tại $k$ để 

$$\frac{n}{t}=\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_k}}$$

trong đó $a_1,a_2,..,a_{k}$ là các số tự nhiên phân biệt.

Khó hơn chút nữa thì tìm những số tự nhiên $n$ mà tồn tại $k$ để:

$$\frac{n}{k}=\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_k}}$$

trong đó $a_1,a_2,..,a_{k}$ là các số tự nhiên phân biệt.

Trong mỗi trường hợp tồn tại trên ta thử tìm số $k$ nhỏ nhất để có thể biểu diễn được xem thế nào.

Hoặc ta cố định $k$, cho trước hai số nguyên dương $k$ và $t$ thì những $n$ nào thỏa mãn:

$$\frac{n}{t}=\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_k}}$$

trong đó $a_1,a_2,..,a_{k}$ là các số tự nhiên không nhất thiết phân biệt.

 

Haha nếu thầy thấy bài trên có vẻ không thực tế thì giải quyết những vấn đề em nêu trên nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Karl Heinrich Marx: 16-06-2015 - 01:33

[hxthanh]

Cảm ơn Karl Heinrich Marx đã nêu ra vấn đề, nhờ đó mà tôi đã làm sáng tỏ được cách tìm kiếm các bộ nguyên như vậy.

Với $A=\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_n}}=k$

Ta thấy rằng $0<k\le n$

Như vậy có thể viết $n=pk+q$ trong đó $p=\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor$

Nếu $q=0$ thì ta chọn $n$ số bằng nhau và bằng $a_1=a_2=...=a_n=p^2$

Nếu $q\ne 0$ thì ta chọn $n-(p+q)$ số bằng nhau có giá trị là $p^2$ cùng với $(p+q)$ số bằng nhau có giá trị là $(p+q)^2$

Thì tổng sẽ là $A=\frac{n-(p+q)}{p}+\frac{p+q}{p+q}=\frac{n-q}{p}=k$

 

Và như vậy chỉ cần $k\le n$ thì ta luôn tìm được đẳng thức!

[Quoc Tuan Qbdh]

Cảm ơn Karl Heinrich Marx đã nêu ra vấn đề, nhờ đó mà tôi đã làm sáng tỏ được cách tìm kiếm các bộ nguyên như vậy.

Với $A=\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_n}}=k$

Ta thấy rằng $0<k\le n$

Như vậy có thể viết $n=pk+q$ trong đó $p=\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor$

Nếu $q=0$ thì ta chọn $n$ số bằng nhau và bằng $a_1=a_2=...=a_n=p^2$

Nếu $q\ne 0$ thì ta chọn $n-(p+q)$ số bằng nhau có giá trị là $p^2$ cùng với $(p+q)$ số bằng nhau có giá trị là $(p+q)^2$

Thì tổng sẽ là $A=\frac{n-(p+q)}{p}+\frac{p+q}{p+q}=\frac{n-q}{p}=k$

 

Và như vậy chỉ cần $k\le n$ thì ta luôn tìm được đẳng thức!

 

Haha dĩ nhiên là tìm được chứ thầy, vd lấy 90 số 25 và 10 số 100 thì có tổng bằng 19 rồi :v

Nhưng mà em hiểu ý của thầy, bài toán này câu hỏi đặt ra chỉ là vì mục đích che giấu cái bđt thầy đã nêu ra để đánh đố người khác. Cái này phù hợp vs thi cử

Tuy nhiên ta thử đặt ra những vấn đề mới đi vào trọng tâm xem thế nào.

Ví dụ thế này, tìm tất cả số tự nhiên $n$ có thể biểu diễn được dưới dạng

$$\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{100}}}$$

trong đó $a_1,a_2,..,a_{100}$ là các số tự nhiên phân biệt.

Hoặc là tìm tất cả các số tự nhiên $n$ mà tồn tại $k$ tự nhiên để

$$n=\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_k}}$$

trong đó $a_1,a_2,..,a_{k}$ là các số tự nhiên phân biệt.

Khó hơn một chút thì là với mỗi số nguyên dương $t$, hỏi có những số tự nhiên $n$ nào mà thỏa mãn tồn tại $k$ để 

$$\frac{n}{t}=\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_k}}$$

trong đó $a_1,a_2,..,a_{k}$ là các số tự nhiên phân biệt.

Khó hơn chút nữa thì tìm những số tự nhiên $n$ mà tồn tại $k$ để:

$$\frac{n}{k}=\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_k}}$$

trong đó $a_1,a_2,..,a_{k}$ là các số tự nhiên phân biệt.

Trong mỗi trường hợp tồn tại trên ta thử tìm số $k$ nhỏ nhất để có thể biểu diễn được xem thế nào.

Hoặc ta cố định $k$, cho trước hai số nguyên dương $k$ và $t$ thì những $n$ nào thỏa mãn:

$$\frac{n}{t}=\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_k}}$$

trong đó $a_1,a_2,..,a_{k}$ là các số tự nhiên không nhất thiết phân biệt.

 

Haha nếu thầy thấy bài trên có vẻ không thực tế thì giải quyết những vấn đề em nêu trên nhé

http://diendantoanho...rta-2015geq-89/

Cách giải của bài này có cần xét dấu $"="$ không thầy   

[hxthanh]

http://diendantoanho...rta-2015geq-89/

Cách giải của bài này có cần xét dấu $"="$ không thầy   

Bài này với bài em làm không có gì khác biệt, chỉ cần phản chứng là đủ! Có chăng chỉ là sự cẩn thận của người ra đề (khi cho điều kiện là $\ge 89$)

Dấu đẳng thức, chẳng qua chỉ là câu hỏi thắc mắc đối với giả thiết của bài toán. Sau này khi học về logic em sẽ thấy rằng, mệnh đề:

$P\Rightarrow Q$

chỉ sai nếu $Q$ sai mà $P$ đúng, các trường hợp còn lại đều cho kết quả đúng!

Kiểu như: Khi giả thiết là sai thì kết luận kiểu gì cũng đúng!

Việc "phản chứng" là chứng minh mệnh đề $\overline Q\Rightarrow \overline P$

 

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline P&Q&P\Rightarrow Q \\ \hline 0&0&1 \\ \hline 0&1&1\\ \hline 1&1&1\\ \hline 1&0&0 \\ \hline\end{array}\qquad \Leftrightarrow \qquad \begin{array}{|c|c|c|} \hline \overline P&\overline Q&\overline Q\Rightarrow \overline P \\ \hline 1&1&1 \\ \hline 1&0&1\\ \hline 0&0&1\\ \hline 0&1&0 \\ \hline\end{array}$

 

Ta thấy rằng để chứng minh $P\Rightarrow Q$ là đúng $(=1)$ thì khi kết luận $Q$ đúng đều cho kết quả đúng, chỉ còn phải chứng minh rằng khi $Q$ sai thì suy ra $P$ phải sai.

 

Khi gặp một bài toán (đề sai) mà chứng minh được giả thiết sai, thì kết luận đâu còn ý nghĩa gì nữa!

Kiểu như: "Vì Trái Đất hình lập phương nên hình tròn có 4 góc vuông"

Hay:

Bài toán: Cho số thực $x$ thỏa mãn điều kiện $x^2+1=0$. Chứng minh rằng $x$ là số hữu tỉ.