Chủ đề này có 3 trả lời

[marcoreus101]

Cho $a,b,c\geq 0$ và không có đồng thời hai số bằng không. Chứng minh rằng $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq 2\sqrt{1+\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

Spoiler

 ĐHV sửa tiêu đề giúp em ạ 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 15-06-2015 - 16:56

[Nguyenhuyen_AG]

Cho $a,b,c\geq 0$ và không có đồng thời hai số bằng không. Chứng minh rằng $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq 2\sqrt{1+\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

Spoiler

 ĐHV sửa tiêu đề giúp em ạ 

 

Chuẩn hoán $ab+bc+ca=1,$ với chú ý $a(a+b)(a+c) = a(a^2+ab+bc+ca) = a(a^2+1) = a^3+a.$ Bất đẳng thức trở thành

\[\sqrt{a^3+a}+\sqrt{b^3+b}+\sqrt{c^3+c}\ge2\sqrt{a+b+c}.\]

Áp dụng bất đẳng thức Minkowski, ta có

\[\begin{aligned} \sum \sqrt{a^3+a} &=\sqrt{a^2(a+b+c)+abc}+\sqrt{b^2(a+b+c)+abc}+\sqrt{c^2(a+b+c)+abc}\\&\ge\sqrt{\left(a\sqrt{a+b+c}+b\sqrt{a+b+c}+c\sqrt{a+b+c}\right)^2+\left(\sqrt{abc}+\sqrt{abc}+\sqrt{abc}\right)^2}\\&=\sqrt{(a+b+c)^3+9abc}\end{aligned}\]

Do đó ta cần chứng minh được

\[(a+b+c)^3+9abc\ge 4(a+b+c)(ab+bc+ca).\]

Đây chính là bất đẳng thức Schur bậc $3,$ đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c $ hoặc $a=b,\;c=0$ và các hoán vị. Bài toán được chứng minh.

[Juliel]

Iran TST 2008.

[KietLW9]

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq 2\sqrt{1+\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

$\Leftrightarrow \frac{\sum_{cyc}\sqrt{a(c+a)(a+b)}}{\sqrt{a+b)(b+c)(c+a)}}\geqslant 2\sqrt{\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$ 

$\Leftrightarrow \sum_{cyc}\sqrt{a(c+a)(a+b)}\geqslant 2\sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}$

$\Leftrightarrow \sum_{cyc}a(a+b)(a+c)+2\sum_{cyc}(b+c)\sqrt{bc(a+b)(a+c)}\geqslant 4\sum_{cyc}bc(b+c)+12abc$

Áp dụng AM - GM, ta được: $(a+b)(a+c)=a^2+a(b+c)+bc\geqslant a^2+2a\sqrt{bc}+bc=(a+\sqrt{bc})^2\Rightarrow \sum_{cyc}(b+c)\sqrt{bc(a+b)(a+c)}\geqslant \sum_{cyc}(b+c)\sqrt{bc}(a+\sqrt{bc})=\sum_{cyc}bc(b+c)+\sqrt{abc}\sum_{cyc}(b+c)\sqrt{a}$

Tiếp tục sử dụng AM - GM: $\sqrt{abc}\sum_{cyc}(b+c)\sqrt{a}\geqslant \sqrt{abc}\sum_{cyc}2\sqrt{bc}\sqrt{a}=6abc$

Như vậy, ta cần chỉ ra rằng: $\sum_{cyc}a(a+b)(a+c)+2\sum_{cyc}bc(b+c)+12abc\geqslant 4\sum_{cyc}bc(b+c)+12abc\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\geqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$  

Bất đẳng thức cuối là bất đẳng thức Schur dạng $a^k(a-b)(a-c)+b^k(b-a)(b-c)+c^k(c-a)(c-b)\geqslant 0$  với k = 1 nên ra có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c hoặc a = b, c = 0 và các hoán vị.