$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq 2\sqrt{1+\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$
$\Leftrightarrow \frac{\sum_{cyc}\sqrt{a(c+a)(a+b)}}{\sqrt{a+b)(b+c)(c+a)}}\geqslant 2\sqrt{\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$
$\Leftrightarrow \sum_{cyc}\sqrt{a(c+a)(a+b)}\geqslant 2\sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}$
$\Leftrightarrow \sum_{cyc}a(a+b)(a+c)+2\sum_{cyc}(b+c)\sqrt{bc(a+b)(a+c)}\geqslant 4\sum_{cyc}bc(b+c)+12abc$
Áp dụng AM - GM, ta được: $(a+b)(a+c)=a^2+a(b+c)+bc\geqslant a^2+2a\sqrt{bc}+bc=(a+\sqrt{bc})^2\Rightarrow \sum_{cyc}(b+c)\sqrt{bc(a+b)(a+c)}\geqslant \sum_{cyc}(b+c)\sqrt{bc}(a+\sqrt{bc})=\sum_{cyc}bc(b+c)+\sqrt{abc}\sum_{cyc}(b+c)\sqrt{a}$
Tiếp tục sử dụng AM - GM: $\sqrt{abc}\sum_{cyc}(b+c)\sqrt{a}\geqslant \sqrt{abc}\sum_{cyc}2\sqrt{bc}\sqrt{a}=6abc$
Như vậy, ta cần chỉ ra rằng: $\sum_{cyc}a(a+b)(a+c)+2\sum_{cyc}bc(b+c)+12abc\geqslant 4\sum_{cyc}bc(b+c)+12abc\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\geqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$
Bất đẳng thức cuối là bất đẳng thức Schur dạng $a^k(a-b)(a-c)+b^k(b-a)(b-c)+c^k(c-a)(c-b)\geqslant 0$ với k = 1 nên ra có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c hoặc a = b, c = 0 và các hoán vị.
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$