Chủ đề này có 1 trả lời

[Quoc Tuan Qbdh]

Giả sử tam giác $ABC$ có ba góc nhọn để $tgA, tgB, tgC$ là ba nghiệm của phương trình :

$x^{3}+px^{2}+qx+p=0 (q \neq 1)$

Chứng minh rằng $p \leq -3 \sqrt{3}$ và $q>1$

[phamxuanvinh08101997]

Giả sử tam giác $ABC$ có ba góc nhọn để $tgA, tgB, tgC$ là ba nghiệm của phương trình :

$x^{3}+px^{2}+qx+p=0 (q \neq 1)$

Chứng minh rằng $p \leq -3 \sqrt{3}$ và $q>1$

Theo Vi-ét ta có $\left\{\begin{matrix}tanA +tanB +tanC=-p \\tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA>1 \\tanA.tanB.tanC=-p \end{matrix}\right.$

Đặt $tanA=x;tanB=y;tanC=z$ suy ra $x+y+z=xyz$ theo BĐt AM-GM thì  $x+y+z \geq 3sqrt[3]{xyz}$ do đó $xyz \geq 3\sqrt[3]{xyz} \Leftrightarrow xyz \geq 3\sqrt{3}\Rightarrow x+y+z \geq 3\sqrt{3} \Rightarrow p \leq -3\sqrt{3}$ suy ra đpcm