đề thi hsg trường THPT Lương Văn Tụy Ninh Bình lớp 11 T
hóng đáp án bài 5
Bài 5:(4 điểm)Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại số nguyên dương $n$ để số
$A=2+n+n^2+...+n^{p-1}$ là lũy thừa bậc $5$ của một số nguyên dương
giả sử $\exists n,p$ thỏa đề nên đặt $A=y^5$ nên ta có
$\frac{n^p-1}{n-1}=y^5-1$
gọi $q$ là ước nguyên tố của $\frac{n^p-1}{n-1}$ thì dễ thấy $q=p\vee q\equiv 1(mod\ p)$
do đó các ước nguyên tố của $\frac{n^p-1}{n-1}=y^5-1$ có dạng $pk$ hoặc $pk+1$
ta có
$y^5-1=(y-1)(y^4+y^3+y^2+y+1)$
$\blacksquare\ \text{TH1}$ nếu $y-1\equiv 0(mod\ p)$
$\Rightarrow y^4+...+1\equiv 5(mod\ p)\Rightarrow p\in \left \{ 2,5 \right \}$
$\blacksquare\ \text{TH2}$ nếu $y-1\equiv 1(mod\ p)$
$\Rightarrow y^4+...+1\equiv 31(mod\ p)\Rightarrow p\in \left \{ 2,3,5,31 \right \}$
$\bigstar$ với $p=2$ thì chọn $n=30$
$\bigstar$ với $p=3$ thì chọn $n=5$
$\bigstar$ với $p=5$ thì chọn $n=2$
$\bigstar$ với $p=31$ thì chọn $n=1$
vậy $\boxed{p\in \left \{ 2,3,5,31 \right \}}$ thì $\exists n$ thỏa đề
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 20-06-2015 - 18:27
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh