Đến nội dung

Hình ảnh

$\dfrac{a}{\sqrt{b}}+\dfrac{b}{\sqrt{c}}+\dfrac{c}{\sqrt{a}}\ge a+b+c$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
bich vu

bich vu

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh $$\dfrac{a}{\sqrt{b}}+\dfrac{b}{\sqrt{c}}+\dfrac{c}{\sqrt{a}}\ge a+b+c$$

 

-------

MOD: Chú ý cách đặt tiêu đềcách gõ công thức toán!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 21-06-2015 - 14:24
Sửa Latex và tiêu đề


#2
Issac Newton of Ngoc Tao

Issac Newton of Ngoc Tao

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 756 Bài viết

ta có:

$\sum \frac{a}{\sqrt{b}}+\sum a\sqrt{b}\geq \sum 2a\Leftrightarrow \sum \frac{a}{\sqrt{b}}\geq \sum a+(\sum a-\sum a\sqrt{b})$ (*)

lại có:$\sum a\sqrt{b}\leq \sum \frac{(a+ab)}{2}= \frac{\sum a}{2}+\frac{\sum ab}{2}$  (1)

Mà:$\sum ab\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}\leq a+b+c$. Do $a+b+c\leq \sqrt{3\sum a^{2}}= 3$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\sum a\geq \sum a\sqrt{b}\Rightarrow (*)\Leftrightarrow \sum \frac{a}{\sqrt{b}}\geq \sum a. dpcm$


"Attitude is everything"


#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh $$\dfrac{a}{\sqrt{b}}+\dfrac{b}{\sqrt{c}}+\dfrac{c}{\sqrt{a}}\ge a+b+c$$

 

-------

MOD: Chú ý cách đặt tiêu đềcách gõ công thức toán!

Lời giải. Từ giả thiết suy ra $a+b+c\leqslant 3$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}=\frac{a^2}{\sqrt{a}.\sqrt{ab}}+\frac{b^2}{\sqrt{b}.\sqrt{bc}}+\frac{c^2}{\sqrt{c}.\sqrt{ca}}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{a}.\sqrt{ab}+\sqrt{b}.\sqrt{bc}+\sqrt{c}.\sqrt{ca}}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{(a+b+c).\frac{(a+b+c)^2}{3}}}=\sqrt{3(a+b+c)}\geqslant \sqrt{(a+b+c)^2}=a+b+c$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh