Chủ đề này có 2 trả lời

[Capture]

Cho $a,b,c >0$ va $abc=1$. Chứng minh:

$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Capture: 24-06-2015 - 23:10

[canhhoang30011999]

Cho $a,b,c >0$ va $abc=1$. Chứng minh:

$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

$\sum \frac{1}{a^{3}(b+c)}= \sum \frac{b^{2}c^{2}}{ab+ac}\geq \frac{ab+bc+ca}{2}\geq \frac{3}{2}$

[KietLW9]

Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\rightarrow (x,y,z)$ thì $xyz = 1$, $x,y,z>0$ và ta cần chứng minh: $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\geqslant \frac{3}{2}$

Giả sử $x\geqslant y\geqslant z\Rightarrow \frac{x}{y+z}\geqslant \frac{y}{z+x}\geqslant \frac{z}{x+y}$

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu cùng chiều: $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\geqslant \frac{1}{3}(x+y+z)(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y})=\frac{1}{6}[(y+z)+(z+x)+(x+y)](\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y})\geqslant \frac{1}{6}.3[(y+z).\frac{x}{y+z}+(z+x).\frac{y}{z+x}+(x+y).\frac{z}{x+y}]=\frac{x+y+z}{2}\geqslant \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$