Bạn Quang Dương có hỏi tôi về việc chứng minh phương trình sau có nghiệm trong khoảng $(-\pi,\pi)$.
$\cos 2x+\cos x.(2-\cos a-\cos b)+\sin x.(\sin a+\sin b)+1-\cos a-\cos b=0$, trong đó $x$ là ẩn và $a,b$ là tham số.
Theo tôi thì cách làm thông thường như biết đổi lượng giác, quy về phương trình đa thức.... có thể sẽ bế tắc.
Chúng ta cũng biết Một kết quả well-known trong giải tích như sau:
Định lý: Nếu như $f(a).f(b)<0$ và hàm số $f(x)$ liên tuc trên $[a,b]$ thì ít nhất có một nghiệm trên $(a,b)$.
Tuy nhiên trong một chừng mực nào đó thì ta không áp dụng ngay được định lý trên vào đặc biệt với các hàm phức tạp, hoặc chứa tham số, không dễ nhẩm hoặc tính được f(a), f(b). Tôi đưa ra một ý tưởng(thầy Trần Nam Dũng và thầy Nguyễn Hùng Sơn đã nói rằng ý tưởng của mệnh đề sau cũ) sau để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình trên.
Mệnh đề: Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a,b]$, và $f(a+\epsilon)*f(b-\epsilon)<0$ với một $\epsilon>0$ và nhỏ bao nhiêu tùy ý thì hàm số $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $(a,b)$.
Mong các bạn cho lời giải khác?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oai Thanh Dao: 25-06-2015 - 08:05
