Đến nội dung

Hình ảnh

17th ELMO 2015

elmo 2015

  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chưa có bài trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

ELMO là một kì thi giải toán ở Mĩ với mục đích cho HS rèn luyện trước IMO. Cách tổ chức ELMO khá giống với IMO và chất lương bài toán có thể nói là ngang với IMO. Sau đây là đề kì thi ELMO 2015:

Thời gian làm bài: $5$ tiếng.

Mỗi bài $7$ điểm tối đa.

Bài 1. Cho dãy $a_1=2$ và $a_n=2^{a_{n-1}}+2$ với mọi số nguyên $n \ge 2$. Chứng minh rằng $a_{n}$ chia hết cho $a_{n-1}$ với mọi số nguyên $n \ge 2$.

Đề nghị bởi Sam Korsky

 

Bài 2. Cho $m,n,x$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng \[ \sum_{i = 1}^n \min\left(\left\lfloor \frac{x}{i} \right\rfloor, m \right) = \sum_{i = 1}^m \min\left(\left\lfloor \frac{x}{i} \right\rfloor, n \right). \]

Đề nghị bởi Yang Liu

Bài 3. Cho đường tròn $\omega$ và điểm $C$ nằm ngoài đường tròn; $A,B$ là điểm trên $\omega$ sao cho $\overline{CA}$ và $\overline{CB}$ tiếp xúc với $\omega$. $X$ là điểm đối xứng với $A$ qua $B$. Kí hiệu đường tròn tam giác $BXC$ là $\gamma$. $\gamma$ và $\omega$ cắt nhau tại $D \ne B$ và đường thẳng $CD$ cắt $\omega$ tại $E \ne D$. Chứng minh rằng $EX$ tiếp xúc với $\gamma$.

Đề nghị bởi David Stoner.

Bài 4. Cho $a>1$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng với một vài số nguyên không âm $n$ thì $2^{2^n}+a$ không là số nguyên tố.

Đề nghị bởi Jack Gurew

Bài 5. Cho $m,n,k>1$ là các số nguyên dương. Với một tập hợp $S$ các số nguyên dương, kí hiệu $S(i,j)$ với $i<j$ là số các phần tử nằm giữa $i$ và $j$. Ta nói hai tập hợp $(X,Y)$ là cặp béo nếu $$X(i,j) \equiv Y(i,j) \pmod n$$ với mỗi $i,j \in X \cap Y$. (Nếu $|X \cap Y|<2$ thì $(X,Y)$ là cặp béo.)

Nếu có $m$ tập riêng biệt, mỗi tập có $k$ số nguyên dương sao cho không 2 tập nào tạo thành cặp béo. Chứng minh $m<n^{k-1}$.

Đề nghị bởi Allen Liu

 

Để cho việc thảo luận trở nên dễ dàng hơn, mình sẽ tách mỗi bài thành 1 topic. Mọi người có thể click vào Bài ... để đến link của bài toán đó.

 

File gửi kèm


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: elmo, 2015

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh