Trước hết ta chứng minh bài toán phụ sau: Cho tam giác ABC. Điểm M,N lần lượt thuộc AB,AC sao cho $\frac{MA}{MB}=m$ và $\frac{NC}{NA}=n$ . Điểm I thuộc đoạn MN sao cho $\frac{IM}{IN}=t$ . AI cắt BC tại E. Khi đó ta có $\frac{EB}{EC}=t.\frac{m+1}{m(n+1)}$
Trở lại bài toán chính. Gọi giao của AX,BY,CZ với BC,CA,AB lần lượt là H,I,K
ĐẶt $\frac{FA}{FB}=m$ ; $\frac{DB}{DC}=n$ ;$\frac{EC}{EA}=p$ ;$\frac{XF}{XE}=x$ ;$\frac{YD}{YF}=y$ ;$\frac{EZ}{ED}=z$
Từ đó theo giả thiết ta có : $\left\{\begin{matrix} mnp=1 & & \\ xyz=1& & \end{matrix}\right.$
Xét tam giác ABC có $\frac{FA}{FB}=m$ ; $\frac{EC}{EA}=p$ ; $\frac{XF}{XE}=x$ . Theo bài toán phụ ta có:
$\frac{HB}{HC}=x.\frac{m+1}{m(p+1)}$
Tương tự : $\frac{IC}{IA}=y.\frac{n+1}{n(m+1)}$ và $\frac{KA}{KB}=z.\frac{p+1}{p(n+1)}$
$\Rightarrow \frac{HB}{HC}.\frac{IC}{IA}.\frac{KA}{KB}=1$
$\Rightarrow$ AX, BY, CZ đồng quy ( đpcm )