Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm nghiệm nguyên: $3^{x}+4^{y}=7^{z}$

phương trình nghiệm nguyên

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
Capture

Capture

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

$3^{x}+4^{y}=7^{z}$



#2
Tuan Hoang Nhat

Tuan Hoang Nhat

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

$3^{x}+4^{y}=7^{z}$

Trường hợp 1:cả x,y,z đều $\leq 0$

khi đó cho x=-a;y=-b;z=-c thì $a,b,c \geq 0$

Phương trình này sẽ tương đương với:

$\frac{1}{3^a}+\frac{1}{4^b}=\frac{1}{7^c}<=>\frac{3^a4^b}{3^a+4^b}=7^c$

=> $3^a4^b$ chia hết cho $7^c$

Bắt buộc $c=0$

Đến đây có thể giải quyết dễ dàng :(

Spoiler


Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.


#3
Tuan Hoang Nhat

Tuan Hoang Nhat

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

$3^{x}+4^{y}=7^{z}$

Giờ sẽ xét với cả 3 số x,y,z đều $\geq 0$ thực ra cũng phải xét thêm một vài trường hợp âm dương nữa nhưng mà cứ tạm bỏ qua :(

Trường hợp 1: $y=1$

Khi đó thì phương trình trở thành: $3^x+4=7^z$

Với $x \geq 3$ thì $7^z\equiv 4$ (mod 27)

Khi đó thì $z \equiv 8$ (mod 9) 

Đặt: $z=9k+8$

Khi đó $3^x+4=7^{9k+8}\equiv 16$ (mod 37)

=> $3^x \equiv 12$ (mod 37)  (1)

Nhận thấy: $3^x+4$ chia hết cho 7

Do đó: $x \equiv 1$ (mod 6)

=> $x \equiv 1,7,13$ (mod 18)

=> $3^x \equiv 3,4,30$ (mod 37) (2)

(1) và (2) mâu thuẫn nhau, do đó $x<3$. Từ đó nhận thấy với $y=1$ thì $x=z=1$, trường hợp $x=2$ loại 

Spoiler


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tuan Hoang Nhat: 30-06-2015 - 22:25

Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.


#4
Chris yang

Chris yang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết

Bài này vừa được đăng ở http://artofproblems..._integer_3x4y7z



#5
Tuan Hoang Nhat

Tuan Hoang Nhat

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết

Trường hợp: $y \geq 2$

Ta có: $4^y=7^z-3^x\equiv (-1)^z-(-1)^x\equiv 0$ (mod 4)

Do đó x và z cùng tính chẵn lẻ.

Nếu cả x và z cùng lẻ thì $7^z \equiv 7$ (mod 8)  và $3^x \equiv 3$ (mod 8)

Do đó: $7^z-3^x \equiv 4$ (mod 8)

Dễ dàng giải tiếp.

Nếu cả x và z cùng chẵn. Khi đó đặt $x=2b$ và $z=2a$

Đến đây giải như thế nào :(


Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.


#6
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

$3^{x}+4^{y}=7^{z}$

Lời giải :

 

Xét hơi nhiều trường hợp tý nhé !

$\boxed{1}$ Xét trường hợp $x < 0$ :

$\bullet$ $y > 0$ và $z > 0$ : Một vế nguyên, một vế không nguyên (loại)

$\bullet$ $y > 0$ và $z < 0$ : 

$\frac{1}{3^{|x|}}+4^{y}=\frac{1}{7^{|z|}}\Leftrightarrow 7^{|z|}+4^{y}.3^{|x|}.7^{|z|}=3^{|x|}$

Vô lí vì hiển nhiên $7^{|z|}+4^{y}.3^{|x|}.7^{|z|}>3^{|x|}$

$\bullet$ $y < 0$ và $z > 0$ :

$\frac{1}{3^{|x|}}+\frac{1}{4^{|y|}}=7^{z}\Leftrightarrow 3^{|x|}+4^{|y|}=7^{z}.3^{|x|}.4^{|y|}$

Một vế chẵn, một vế lẻ (loại)

$\bullet$ $y < 0$ và $z < 0$ :

$\frac{1}{3^{|x|}}+\frac{1}{4^{|y|}}=\frac{1}{7^{|z|}}\Leftrightarrow 7^{|z|}.(3^{|x|}+4^{|y|})=3^{|x|}.4^{|y|}$

Một vế chẵn, một vế lẻ (loại)

 

$\boxed{2}$ Xét trường hợp : $x\geq 0$ 

$\bullet$ $y\geq 0;z\geq 0$  (sẽ giải sau)

$\bullet$ $y\geq 0;z\leq 0$ : Một vế nguyên, một vế không nguyên (loại)

$\bullet$ $y\leq 0;z\geq 0$ : Một vế nguyên, một vế không nguyên (loại)

$\bullet$ $y\leq 0;z\leq 0$ : $3^{|x|}+\frac{1}{4^{|y|}}=\frac{1}{7^{|z|}}\Leftrightarrow 3^{|x|}.7^{|z|}.4^{|y|}+7^{|z|}=4^{|y|}$

Vô lí vì hiển nhiên $3^{|x|}.7^{|z|}.4^{|y|}+7^{|z|}>4^{|y|}$

 

Bây giờ ta sẽ giải trường hợp cả ẩn $x,y,z$ đều là những số nguyên dương

$\blacksquare$ Nếu $y\geq 2$ thì : $4^{y}\vdots 8$

Ta có : $3^{x}+4^{y}\equiv 1;3(mod8)$ mà $7^{z}\equiv 1;7(mod8)$

Do đó $7^{z}=3^{x}+4^{y}\equiv 1(mod8)\Rightarrow x,z$ chẵn

Đặt $x=2a;y=2b$ (với $a,b$ nguyên dương), ta được :

$$3^{2a}+2^{2y}=7^{2b}\Leftrightarrow (7^{b}-3^{a})(7^{b}-3^{a})=2^{2y}$$

Do đó :

$$\left\{\begin{matrix} 7^{b}-3^{a}=2^{m} & & \\ 7^{b}+3^{a}=2^{n} & & \end{matrix}\right.$$

Với $m,n$ tự nhiên và $m<n,m + n = 2y$

Trừ vế với vế :

$$2.3^{a}=2^{n}-2^{m}$$

$\Leftrightarrow 2.3^{a}=2^{m}(2^{n-m}-1)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m=1 & & \\ 2^{n-1}-1=3^{a}& & \end{matrix}\right.$

Xét riêng phương trình $2^{n-1}-1=3^{a}$. Bằng cách xét đồng dư mô-đun $3$, chỉ ra được $n-1$ chẵn.

Từ đó dễ tìm được $a=1;n=3;m=1$. Từ đó $y = 1$ (loại vì đang xét $y\geq 2$)

$\blacksquare$ Ta xét $y = 1$

Ta được phương trình : $$3^{x}+4=7^{z}$$

Dễ thấy khi $z = 1$ thì $x = 1$, ta xét $z > 1$

$\blacktriangledown$ Xét $z$ chẵn, thì $7^{z}\equiv 1(mod4)\Rightarrow 3^{x}+4\equiv 1(mod4)\Rightarrow x$ chẵn

Đặt $z=2m;y=2n$ ($m,n$ nguyên dương), thay vào thì : $(7^{m}-3^{n})(7^{m}+3^{n})=4$

Phương trình ước số này không cho nghiệm thỏa mãn

$\blacktriangledown$ Xét $z$ lẻ thì : $7^{z}\equiv 3(mod4)\Rightarrow 3^{x}+4\equiv 3(mod4)\Rightarrow x$ lẻ

Bằng cách đặt $x = 6k + r$ và xét đồng dư theo mô-đun $7$ ta dễ dàng tìm được $r=1$, tức $x = 6k+1$

Vì $x$ lẻ nên $$3^{x}\equiv 2;3(mod5)\Rightarrow 7^{z}=3^{x}+4\equiv 1;2(mod5)(\bigstar )$$

Vì $z$ lẻ nên đặt $z = 2z_{1}+1$, ta được : $$7^{z}=7^{2z_{1}+1}\equiv (-1)^{z_{1}}.7\equiv 2;3(mod5)(\blacklozenge )$$

Từ $(\blacklozenge )(\bigstar )$ suy ra :

$$(-1)^{z_{1}}.7\equiv 2(mod5)\Rightarrow z_{1}\vdots 2\Rightarrow z\equiv 1(mod4)$$

Ta có $y = 6k+1$ nên : 

$$7^{z}=3^{x}+4=3^{6k+1}+4\equiv 7(mod13)$$.

Đặt $z = 12t + r'$ thì $$7^{z}=7^{12t+r'}\equiv 7^{r'}\equiv 7(mod13)\Rightarrow r'=1\Rightarrow z=12t+1$$

 

Như vậy ta đã chứng minh xong $z = 12t+1$ và $x = 6k+1$

Từ phương trình đã cho, suy ra :

$$7^{z}-7=3^{x}-3\Leftrightarrow 7^{12t+1}-7=3^{6k+1}-3\Leftrightarrow 7(7^{12t}-1)=3(3^{6k}-1)$$

Ta thấy $VT\equiv 0(mod3);VP\equiv 6(mod9)$ (loại)

 

KẾT LUẬN : $\boxed{(x;y;z)=(1;1;1)}$


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#7
Duy Anh mapleztoria

Duy Anh mapleztoria

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Trường hợp: $y \geq 2$

Ta có: $4^y=7^z-3^x\equiv (-1)^z-(-1)^x\equiv 0$ (mod 4)

Do đó x và z cùng tính chẵn lẻ.

Nếu cả x và z cùng lẻ thì $7^z \equiv 7$ (mod 8)  và $3^x \equiv 3$ (mod 8)

Do đó: $7^z-3^x \equiv 4$ (mod 8)

Dễ dàng giải tiếp.

Nếu cả x và z cùng chẵn. Khi đó đặt $x=2b$ và $z=2a$

Đến đây giải như thế nào :(

Ta thay lên rồi chuyển vế thì được 

$2^2y=(7^a-3^b)($7^a+3^b)$

Ta có cả 2 cái không cùng chia hết cho 4

=>$7^a-3^b=2$

Vô lý do VT đồng dư 1, VP đồng dư 2 mod 3







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: phương trình nghiệm nguyên

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh