Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm Max của $(a+b)^4+(a+c)^4+(a+d)^4+(b+c)^4+(b+d)^4+(c+d)^4$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
quan1234

quan1234

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 257 Bài viết

Tìm GTLN của biểu thức  $(a+b)^4+(a+c)^4+(a+d)^4+(b+c)^4+(b+d)^4+(c+d)^4$, trong đó a,b,c,d là các số thực thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+d^2\leq1$



#2
Nguyen Minh Hai

Nguyen Minh Hai

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết

Tìm GTLN của biểu thức  $(a+b)^4+(a+c)^4+(a+d)^4+(b+c)^4+(b+d)^4+(c+d)^4$, trong đó a,b,c,d là các số thực thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+d^2\leq1$

Sử dụng BĐT: $(x+y)^4 \leq \frac{16}{3}(x^4+y^4+x^2y^2)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3}(13x^2+14xy+13y^2)(x-y)^2\geq 0$

Ta có:

$\sum _{sym}(a+b)^4 \leq \sum_{sym} \frac{16}{3}(a^4+b^4+a^2b^2)=6 \left (a^2+b^2+c^2+d^2 \right )^2 \leq 6$



#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Ta có: $(a+b)^4\leqslant (a+b)^4+(a-b)^4=2(a^4+b^4+6a^2b^2)$

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $(a+b)^4+(a+c)^4+(a+d)^4+(b+c)^4+(b+d)^4+(c+d)^4\leqslant 6(a^4+b^4+c^4+d^4+2a^2b^2+2a^2c^2+2a^2d^2+2b^2c^2+2b^2d^2+2c^2d^2)=6(a^2+b^2+c^2+d^2)^2\leqslant 6$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=\frac{1}{2}$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh