Đến nội dung


Hình ảnh

[CHUYÊN ĐỀ] CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 166 trả lời

#21 Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 Toán, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình
  • Sở thích:Geometry, Combinatorial

Đã gửi 14-07-2015 - 08:58

 Đặt $\sqrt[3]{a}=x; \sqrt[3]{b}=y;\sqrt[3]{c}=z$

BĐT cần chứng minh trở thành: $x^3+y^3+z^3\geq 3xyz\Leftrightarrow (x+y)^3+z^3-3x^2y-3xy^2-3xyz\geq 0\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2)-3xy(x+y+z)\geq 0\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)\geq 0\Leftrightarrow (x+y+z)\left [ (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 \right ]\geq 0$

(Luôn đúng với $x,y,z$ không âm)

 

P/s: Mình nghĩ đề bài bài 22 sai, hình như giả thiết phải là $\sum \frac{1}{1+a}\geq 3$

Mình thấy giả thiết đúng rồi đó, cách giải như thế này:

Ta sẽ đặt:

$x=\frac{a}{1+a};y=\frac{b}{1+b};z=\frac{c}{1+c};t=\frac{d}{1+d}$

Khi đó rút a theo x, b theo y, c theo z, d theo t, ta được bài toán mới:

Cho $x+y+z+t\leq 1$ Chứng minh rằng:

$\frac{xyzt}{(1-x)(1-y)(1-z)(1-t)}\leq \frac{1}{81}$

$<=>81xyzt\leq (1-x)(1-y)(1-z)(1-t)$

Lại có:$x+y+z+t\leq 1=>\prod (1-x)\geq \prod (y+z+t)$

Đến đây áp dụng AM-GM cho vế phải suy ra điều phải chứng minh

Spoiler


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 14-07-2015 - 09:05

Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#22 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ĐH Quốc Gia Hà Nội}$ $\textrm{Trường ĐH Công Nghệ}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 14-07-2015 - 09:02

 

 

BÀI 21

 

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} x^3=a & & & \\ y^3=b & & & \\ z^3=c & & & \end{matrix}\right. (x,y,z>0)$

AM-GM cho 2 số:

$x^3+y^3+z^3+xyz\geq 2\sqrt{x^3y^3}+2\sqrt{xyz^4}\geq 4\sqrt{\sqrt{x^4y^4z^4}}=4xyz\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3\geq 3xyz\Leftrightarrow a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 14-07-2015 - 09:41


#23 Truong Gia Bao

Truong Gia Bao

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 511 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Vùng đất linh hồn
  • Sở thích:Đọc truyện, xem phim, xúc xích và TOÁN HỌC!

Đã gửi 14-07-2015 - 09:05

Ta phải tìm $n$ thỏa mãn:$n\geq \frac{(a^4+b^4+c^4)}{(a^2+b^2+c^2)^2}\geq \frac{(a^4+b^4+c^4)}{3(a^4+b^4+c^4)}=\frac{1}{3}\rightarrow n_{Min}=1/3$

Có nhầm không í nhỉ? Hình như bạn đổi tử cho mẫu mới đúng, mà như thế không ra được min $n$. Theo BĐT Cauchy Schwarz thì $n=3$ mà đúng không?


"Điều quan trọng không phải là vị trí ta đang đứng, mà là hướng ta đang đi."

#24 hoctrocuaZel

hoctrocuaZel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1162 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp lang tận cùng!
  • Sở thích::( :3

Đã gửi 14-07-2015 - 09:10

$(23)\frac{x}{y}=a;...\Rightarrow abc=1.Prove:a^2+b^2+c^2\geqslant a+b+c;have:\sum a^2+2abc+1\geqslant 2\sum a\Leftrightarrow \sum a^2\geqslant \sum a+\sum a-3\geqslant \sum a$


Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
:(

#25 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ĐH Quốc Gia Hà Nội}$ $\textrm{Trường ĐH Công Nghệ}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 14-07-2015 - 09:10

 

Bài 22: Cho các số dương a, b, c, d. Biết $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\leq 1$

 

Chứng minh rằng $abcd\leq \frac{1}{81}$

 

$\sum \frac{a}{1+a}\leq 1\Leftrightarrow 1-\frac{a}{1+a}\geq \sum \frac{b}{1+b}\Leftrightarrow \frac{1}{1+a}\geq \frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{bcd}{(b+1)(c+1)(d+1)}}$

CMTT:$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{b+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{acd}{(a+1)(c+1)(d+1)}} & & & \\ \frac{1}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abd}{(a+1)(b+1)(c+1)}} & & & \\ \frac{1}{d+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}} & & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)}\geq \frac{81abcd}{(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)}\Rightarrow abcd\leq \frac{1}{81}$



#26 Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 Toán, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình
  • Sở thích:Geometry, Combinatorial

Đã gửi 14-07-2015 - 09:16

$(23)\frac{x}{y}=a;...\Rightarrow abc=1.Prove:a^2+b^2+c^2\geqslant a+b+c;have:\sum a^2+2abc+1\geqslant 2\sum a\Leftrightarrow \sum a^2\geqslant \sum a+\sum a-3\geqslant \sum a$

Bài này có cách khác:$3(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2})\geq (\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})^2\geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})$

=> ĐPCM


Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#27 Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 Toán, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình
  • Sở thích:Geometry, Combinatorial

Đã gửi 14-07-2015 - 09:21

Bài 20 sẽ thử lần lượt:

Với n=0 hoặc n=1 dễ thấy BĐT sai :D

Với n=2 thì BĐT trở thành: $2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\leq a^4+b^4+c^4$

Dễ thấy với $a^2,b^2,c^2$ là độ dài 3 cạnh tam giác thì BĐT sai

Ta sẽ chứng minh n=3

Thật vậy: BĐT tương đương:

$3(a^4+b^4+c^4)\geq (a^2+b^2+c^2)^2$

$<=>a^4+b^4+c^4\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$

P/s: Chú ý giả thiết n là số tự nhiên nhỏ nhất


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 14-07-2015 - 09:24

Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#28 ngocanhnguyen10

ngocanhnguyen10

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 14-07-2015 - 15:49

Bài 26: Chứng minh $\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}<2$      (vế trái có 100 dấu căn)

 

Bài 27: Chứng minh $\frac{2-\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2-\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}>\frac{1}{4}$

(tử có 100 dấu căn, mẫu có 99 dấu căn)

 

Bài 28: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta luôn có $\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}<3$

 

Bài 29: Chứng minh rằng trong các số có dạng $\sqrt[n]{n}$ (n là số tự nhiên, $n\geq 2$) số $\sqrt[3]{3}$ có giá trị lớn nhất

 

Bài 30: Cho hai dãy số sắp thứ tự: $a\geq b\geq c;x\leq y\leq z$

 

Chứng minh bất đẳng thức $(a+b+c)(x+y+z)\geq 3(ax+by+cz)$

 

Bài 31: Tìm 20 chữ số thập phân của số $\sqrt{0,99...9}$      (20 chữ số 9)

 

Bài 32: Chứng minh rằng: $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq abc(a+b+c)$

 

Bài 33: Chứng minh rằng: $(a^{10}+b^{10})(a^{2}+b^{2})\geq (a^{8}+b^{8})(a^{4}+b^{4})$

 

Bài 34: Chứng minh rằng: $1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2$

 

Bài 35: Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{b^{2}+ac}+\frac{1}{a^{2}+ab}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanhnguyen10: 14-07-2015 - 16:12

"Nguyễn Thị Ngọc Ánh"


#29 ngocanhnguyen10

ngocanhnguyen10

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 14-07-2015 - 15:50

 

Bài 25: Cho $a=\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}},b=2\sqrt[3]{3}$. CMR a<b

 

 

Đặt $x=\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}},y=\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}\Rightarrow x^{3}+y^{3}=6$             (1)

Xét hiệu $b^{3}-a^{3}=24-(x+y)^{3}=24-(x^{3}+y^{3})-3xy(x+y)$

Thay (1) vào ta được $24-(x^{3}+y^{3})=4(x^{3}+y^{3})-(x^{3}+y^{3})=3(x^{3}+y^{3})$

Do đó: $b^{3}-a^{3}=3(x^{3}+y^{3})-3xy(x+y)=3(x+y)(x^{2}-xy+y^{2}-xy)=3(x+y)(x-y)^{2}>0$

Suy ra ĐPCM


"Nguyễn Thị Ngọc Ánh"


#30 ngocanhnguyen10

ngocanhnguyen10

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 14-07-2015 - 17:00

 Cách này hay nhá!! Độc luôn  >:)  >:)  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: 
Đặt $A= \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}; M= \frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}+\frac{a}{a+b}; N= \frac{c}{b+c}+\frac{d}{c+d}+\frac{a}{d+a}+\frac{b}{a+b} \Rightarrow M+N= \frac{b+c}{b+c}+\frac{c+d}{c+d}+\frac{d+a}{d+a}+\frac{a+b}{a+b}=1+1+1+1=4$
Ta có: $A+M= \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+d}+\frac{c+d}{d+a}+\frac{d+a}{a+b}$
Áp dụng bất đăng thức Cô-si cho 4 số không âm:
$\Rightarrow A+M= \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+d}+\frac{c+d}{d+a}+\frac{d+a}{a+b} \geq 4\sqrt[4]{\frac{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}{(b+c)(c+d)(d+a)(a+b)}} \Leftrightarrow A+M \geq 4$
Chứng minh tương tự: $A+N \geq 4 \Rightarrow 2A+M+N\geq 8 \Leftrightarrow 2A \geq 4(Do M+N=4)\Leftrightarrow A \geq 2$ (đpcm)
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=d$

Mk có cách khác nè:

$\frac{a}{b+c}+\frac{c}{d+a}=\frac{a^{2}+ad+bc+c^{2}}{(b+c)(a+d)}\geq \frac{4(a^{2}+ad+bc+c^{2})}{a+b+c+d}^{2}$     (1)

Tương tự $\frac{b}{c+d}+\frac{d}{a+b}\geq \frac{4(b^{2}+ab+cd+d^{2})}{(a+b+c+d)^{2}}$             (2)

Cộng (1) và (2) được:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geq 4B$

Cần chứng minh $2B\geq 1\Leftrightarrow (a-c)^{2}+(b-d)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

Suy ra đpcm


"Nguyễn Thị Ngọc Ánh"


#31 HoangVienDuy

HoangVienDuy

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp , Quảng Bình
  • Sở thích:đi phượt

Đã gửi 14-07-2015 - 18:01

Bài 26: Chứng minh $\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}<2$      (vế trái có 100 dấu căn)

Bài 30: Cho hai dãy số sắp thứ tự: $a\geq b\geq c;x\leq y\leq z$

 

Chứng minh bất đẳng thức $(a+b+c)(x+y+z)\geq 3(ax+by+cz)$

Bài 26:đặt $P=\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$

ta có $P< \sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2+2}}}}=2$

=>Đpcm

Bài 30: đây là bđt cheybyshev

c/m: $(a+b+c)(x+y+z)\geq 3(ax+by+cz)\Leftrightarrow (y-x)(a-b)+(x-z)(c-a)+(z-y)(b-c)\geq 0$ (hiển nhiên đúng)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangVienDuy: 14-07-2015 - 20:29

Có một người đi qua hoa cúc

Có hai người đi qua hoa cúc

Bỏ lại sau lưng cả tuổi thơ mình...

FB:https://www.facebook.com/hoang.vienduy


#32 Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 Toán, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình
  • Sở thích:Geometry, Combinatorial

Đã gửi 14-07-2015 - 18:08

đặt $P=\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$

ta có $P< \sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2+2}}}}=2$

=>Đpcm

Cần nói rõ hơn một tí:

Ta có:$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}=A$

Khi đó: $A^2=2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}=2+A$

Do đó:$A^2-A-2=0<=>(A-2)(A+1)=0$

=> $A=2$

Từ đó suy ra ĐPCM

Bài 35: Áp dụng AM-GM ta cần chứng minh:

$\sum \frac{1}{2a\sqrt{bc}}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$

Nhân $abc$ cho cả 2 vế thu được BĐT quen thuộc:

$\sum \sqrt{ab}\leq \sum a$


Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#33 Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 Toán, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình
  • Sở thích:Geometry, Combinatorial

Đã gửi 14-07-2015 - 18:14

Bài 31:Ta sẽ đặt: $0,999...9=a$

Ta sẽ chứng minh: $a<\sqrt{a}<1$

Thật vậy: Vì a<1 nên $a(a-1)<0$. Do đó $a^2<a$

Từ $a^2<a<1$ suy ra: $a<\sqrt{a}<1$

Do đó 20 chữ số đầu cần tìm là các chữ số 9 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 14-07-2015 - 18:21

Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#34 HoangVienDuy

HoangVienDuy

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp , Quảng Bình
  • Sở thích:đi phượt

Đã gửi 14-07-2015 - 18:14

bài 32: ta có $\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}}{abc}=\sum \frac{a^{3}}{bc}$

áp dụng AM-GM ta có: $\frac{a^{3}}{bc}+b+c\geq 3a$

thiết lập các bđt khác ta được $\sum \frac{a^{3}}{bc}+2(a+b+c)\geq 3(a+b+c)\Leftrightarrow \sum \frac{a^{3}}{bc}\geq a+b+c$

=>đpcm


Có một người đi qua hoa cúc

Có hai người đi qua hoa cúc

Bỏ lại sau lưng cả tuổi thơ mình...

FB:https://www.facebook.com/hoang.vienduy


#35 HoangVienDuy

HoangVienDuy

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp , Quảng Bình
  • Sở thích:đi phượt

Đã gửi 14-07-2015 - 18:21

bài 33: $a^{12}+b^{12}+a^{10}b^{2}+a^{2}b^{10}\geq a^{12}+b^{12}+a^{8}b^{4}+a^{4}b^{8}\Leftrightarrow a^{4}b^{2}(a^{6}-b^{6})-a^{2}b^{4}(a^{6}-b^{6})\geq 0\Leftrightarrow a^{2}b^{2}(a^{2}-b^{2})(a^{6}-b^{6})\geq 0\Leftrightarrow a^{2}b^{2}(a+b)^{2}(a^{2}-ab+b^{2})(a-b)^{2}(a^{2}+ab+b^{2})\geq 0$

(hiển nhiên đúng)

=>dpcm


Có một người đi qua hoa cúc

Có hai người đi qua hoa cúc

Bỏ lại sau lưng cả tuổi thơ mình...

FB:https://www.facebook.com/hoang.vienduy


#36 ngocanhnguyen10

ngocanhnguyen10

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 14-07-2015 - 20:00

p/s: bài 27 đề bị sai :(

Đề bài 27 đúng đó bạn  -_-

 

Lời giải:

Gọi: $a_{n}=\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$     (có n dấu căn)

Ta có: $a_{1}=\sqrt{2}<2$

           $a_{2}=\sqrt{2+a_{1}}<\sqrt{2+2}=2$

           $a_{3}=\sqrt{2+a_{2}}<\sqrt{2+2}=2$

           ...

           $a_{100}=\sqrt{2+a_{99}}<\sqrt{2+2}=2$           (1)

$\Rightarrow$ $a_{99}=a_{100}^{2}-2$                (2)

Đăt a100 = a              (3) 

Thay (1) ; (2) và (3) vào đẳng thức cần chứng minh, ta có:  $\frac{2-a}{4-a^{2}}>\frac{1}{4}\Leftrightarrow \frac{2-a}{4(2+a)}>0$  (luôn đúng)

$\Rightarrow$ $ĐPCM$     


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanhnguyen10: 14-07-2015 - 20:01

"Nguyễn Thị Ngọc Ánh"


#37 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:A1K45 PBC
  • Sở thích:Magic Kaito,Holmes,Conan...

Đã gửi 14-07-2015 - 20:22

 

Bài 34: Chứng minh rằng: $1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2$

 

Bài 35: Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{b^{2}+ac}+\frac{1}{a^{2}+ab}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$

Bài 34: Ta có 

+)$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$

+)$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2$

Ta có đpcm

Bài 35:$\frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{b^{2}+ac}+\frac{1}{c^{2}+ab}\leq \frac{1}{2a\sqrt{bc}}+\frac{1}{2b\sqrt{ac}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}}$

Ta cần cm $\frac{1}{2a\sqrt{bc}}+\frac{1}{2b\sqrt{ac}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}}\leq \frac{a+b+c}{2abc}\Leftrightarrow a+b+c\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\Leftrightarrow 2(a+b+c)\geq 2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^{2}+(\sqrt{c}-\sqrt{a})^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

Vậy bất đẳng thức đã được cm



#38 HoangVienDuy

HoangVienDuy

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp , Quảng Bình
  • Sở thích:đi phượt

Đã gửi 14-07-2015 - 20:26

Đề bài 27 đúng đó bạn  -_-

 

Lời giải:

Gọi: $a_{n}=\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$     (có n dấu căn)

Ta có: $a_{1}=\sqrt{2}<2$

           $a_{2}=\sqrt{2+a_{1}}<\sqrt{2+2}=2$

           $a_{3}=\sqrt{2+a_{2}}<\sqrt{2+2}=2$

           ...

           $a_{100}=\sqrt{2+a_{99}}<\sqrt{2+2}=2$           (1)

$\Rightarrow$ $a_{99}=a_{100}^{2}-2$                (2)

Đăt a100 = a              (3) 

Thay (1) ; (2) và (3) vào đẳng thức cần chứng minh, ta có:  $\frac{2-a}{4-a^{2}}>\frac{1}{4}\Leftrightarrow \frac{2-a}{4(2+a)}>0$  (luôn đúng)

$\Rightarrow$ $ĐPCM$     

nhìn nhầm. xin lỗi. bài này mình còn có cách khác :3

nhân lượng liên hợp ta có $P=\frac{1}{ 2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}} }$ (100 dấu căn)

từ Bài 26 ta thấy $\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}< 2\Leftrightarrow 2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}< 4\Leftrightarrow \frac{1}{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}> \frac{1}{4}\Leftrightarrow P> \frac{1}{4}$ (đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangVienDuy: 14-07-2015 - 20:28

Có một người đi qua hoa cúc

Có hai người đi qua hoa cúc

Bỏ lại sau lưng cả tuổi thơ mình...

FB:https://www.facebook.com/hoang.vienduy


#39 honmacarong100

honmacarong100

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trực
  • Sở thích:Bất đẳng thức, khoa học tự nhiên, toán học,...

Đã gửi 15-07-2015 - 12:45

 

 

Bài 30: Cho hai dãy số sắp thứ tự: $a\geq b\geq c;x\leq y\leq z$

 

Chứng minh bất đẳng thức $(a+b+c)(x+y+z)\geq 3(ax+by+cz)$

 

Ta có: $(a+b+c)(x+y+z)\geq 3(ax+by+cz) \Leftrightarrow a(x+y+z)-3ax +b(x+y+z)-3by+c(x+y+z)-3cz\geq 0 \Leftrightarrow a(y+z-2x)+ b(x+z-2y)+ c(x+y-2z)\geq 0 \Leftrightarrow a\left [ (y-x)+(z-x) \right ]+b\left [ (x-y)+(z-y) \right ]+ c\left [ (x-z)+ (y-z) \right ]\geq0 \Leftrightarrow a(y-x)+a(z-x)-b(y-x)+b(z-y)-c(z-x)-c(z-y)\geq 0 \Leftrightarrow (a-b)(y-x)+(a-c)(z-x)+(b-c)(z-y)\geq0$

 Ta thấy bất đẳng thức trên luôn đúng với mọi $a\geq b\geq c; x\leq y\leq z$ vì $(a-b); (b-c); (a-c); (z-y); (z-x); (y-x) \geq 0$
$\Rightarrow$ đpcm

  :ukliam2:  Chúa không chơi trò xúc xắc  :ukliam2:

             God doesn't play die

                             -Albert Einstein-                 

 


#40 royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:VMF!

Đã gửi 15-07-2015 - 13:24

 
 

Bài 22: Cho các số dương a, b, c, d. Biết $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\leq 1$

 

Chứng minh rằng $abcd\leq \frac{1}{81}$

 

 

Từ gt ta có: $\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d} \leq 1-\frac{a}{1+a}$

$\Leftrightarrow \frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d} \leq \frac{1}{1+a}$
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có:
$\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d} \geq 3\sqrt[3]{\frac{bcd}{(1+b)(1+c)(1+d)}}$
$\Rightarrow \frac{1}{1+a} \geq 3\sqrt[3]{\frac{bcd}{(1+b)(1+c)(1+d)}}$
$Tương Tự \frac{1}{1+b} \geq 3\sqrt[3]{{\frac{acd}{(1+a)(1+c)(1+d)}}}$
         $\frac{1}{1+c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{abd}{(1+b)(1+a)(1+d)}}$
          $\frac{1}{1+d} \geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(1+b)(1+c)(1+a)}}$
$\Rightarrow \frac{1}{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)} \geq 81 \sqrt[3]{\frac{(abcd)^{3}}{[(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)]^{3}}}$
$\Leftrightarrow  \frac{1}{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)} \geq 81 \frac{abcd}{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}$
$\Leftrightarrow 1\geq 81abcd$
$\Leftrightarrow \frac{1}{81}\geq abcd (Đpcm)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 15-07-2015 - 13:25





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh