Chủ đề này có 166 trả lời

[Chung Anh]

48. Cho a; b; c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 1. Chứng minh:

                        $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{5}{2}$

 

P/s: Mọi người còn bài CM bđt nào thì post lên để cùng thảo luận nhé!

Áp dụng bất đẳng thức Iran 96 có

$(ab+bc+ca)\left ( \frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(a+c)^2} \right )\geq \frac{9}{4}=>\left (  \frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2} +\frac{1}{(a+c)^2}\right )\geq \frac{9}{4} $

Lại có $2\sum \frac{1}{(a+b)(b+c)}=\frac{4(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{4(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=4+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 4 $

=>$=>VT\geq \sqrt{\frac{9}{4}+4}=\frac{5}{2} $

Dấu bằng xảy ra $<=>(a,b,c)=(1,1,0)$ và các hoán vị

[Chung Anh]

 

59. Cho a; b; c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

                        $\frac{a^{3}}{b^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}}\geq \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}$

 

 

P/s: Mọi người còn bài CM bđt nào thì post lên để cùng thảo luận nhé!

Có $a^3+b^3 \geq a^2b+b^2a <=> (a-b)^2(a+b) \geq 0$

=>$\frac{a^3+b^3}{b^2}\geq \frac{a^2b+b^2a}{b^2}\Leftrightarrow \frac{a^3}{b^2}+b\geq \frac{a^2}{b}+a $

Thiết lập các BĐT tương tự cộng lại có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chung Anh: 06-08-2015 - 21:01

[nloan2k1]

Có $a^3+b^2 \geq a^2b+b^2a <=> (a-b)^2(a+b) \geq 0$

=>$\frac{a^3+b^3}{b^2}\geq \frac{a^2b+b^2a}{b^2}\Leftrightarrow \frac{a^3}{b^2}+b\geq \frac{a^2}{b}+a $

Thiết lập các BĐT tương tự cộng lại có đpcm

Hai $BĐT$ này đâu có tương đương nhau đâu chị? 

[HoangVienDuy]

 

53. Cho a; b; c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

                        $\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

P/s: Mọi người còn bài CM bđt nào thì post lên để cùng thảo luận nhé!

Áp dụng Bunyacowski ta có:

$(a+b+c)\left ( \sum \frac{a}{(b+c)^{2}} \right )\geq \left (\sum \frac{a}{b+c} \right )^{2}$

ta sẽ chứng minh $\left [ \sum \frac{a}{b+c} \right ]^{2}\geq \frac{9}{4}\Leftrightarrow \sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{3}{2}$ (luôn đúng vì đây là bdt nesbit)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangVienDuy: 06-08-2015 - 20:36

[congdan9aqxk]

 

56. Cho a; b; c là các số thự dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

                        $5(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq 6(a^{3}+b^{3}+c^{3})+1$ (1)

 

P/s: Mọi người còn bài CM bđt nào thì post lên để cùng thảo luận nhé!

(1)$\Leftrightarrow 5(\sum a^{2})(\sum a)\leq 6(\sum a^{3})+(a+b+c)^{3}$ (vì a+b+c=1)

Nhân ra rồi thu gọn ta đươc:$\sum ab(a+b)\leq \sum a^{3}+3abc$ (đây là bđt Schur bậc 3)

[congdan9aqxk]

 

49. Cho a; b; c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

                        $\sqrt{a^{2}+(1-b)^{2}}+\sqrt{b^{2}+(1-c)^{2}}+\sqrt{c^{2}+(1-a)^{2}}\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$

50. Cho $a;b;c\in (0;1)$. Chứng minh rằng:

                        $\sqrt{abc}+\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}<1$

 

P/s: Mọi người còn bài CM bđt nào thì post lên để cùng thảo luận nhé!

Bài 49 dùng mincopski,được VT$\geq \sqrt{t^{2}+(3-t)^{2}}$ (t=a+b+c)

VT$\geq VP\Leftrightarrow 2t^{2}-6t+9\geq \frac{9}{2}\Leftrightarrow (2t-3)^{2}\geq 0$ (đúng)

Bài 50

Ta có  $0\leq abc\leq 1$ và 1/2>1/3 nên $\sqrt{abc}\leq \sqrt[3]{abc}\leq \frac{a+b+c}{3}$

Tương tự có:$\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}\leq \frac{3-a-b-c}{3}$

Cộng vế theo vế 2 bđt ta được VT<=1

dấu = xảy ra khi trong 3 số a;b;c có ít nhất 1 số =1(không thỏa mãn đk)

Vậy $\sqrt{abc}+\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}<1$

[congdan9aqxk]

 

54. Cho a; b; c $\geq$ 0. Chứng minh rằng: 

$\sqrt{a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}}+\sqrt{b^{4}+b^{2}c^{2}+c^{4}}+\sqrt{c^{4}+c^{2}a^{2}+a^{4}}\geq a\sqrt{2a^{2}+bc}+b\sqrt{2b^{2}+ca}+c\sqrt{2c^{2}+ab}$

 

 

P/s: Mọi người còn bài CM bđt nào thì post lên để cùng thảo luận nhé!

Ta có $(a^{2}-b^{2})^{2}\geq 0\Rightarrow \sqrt{ a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}}\geq \sqrt{3}\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\Rightarrow VT\geq \sqrt{3}(\sum a^{2})\geq \frac{3}{4}(a^{2}+b^{2})^{2}$

Theo cauchy-schawrs,có

VP$\leq \sqrt{(\sum a^{2})(2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+ab+ac+bc)}\leq \sqrt{3}(\sum a^{2})$ (Vì $ab+ac+bc\leq \sum a^{2}$ )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi congdan9aqxk: 06-08-2015 - 21:35

[lethutang7dltt]

Bài 22: Cho các số dương a, b, c, d. Biết $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\leq 1$

 

22.$\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\leq 1-\frac{a}{a+1}=\frac{1}{a+1} \Rightarrow \frac{1}{a+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{bcd}{(b+1)(c+1)(d+1)}}$

cmtt rồi nhân 4 BĐT  theo vế $=>1\geq 81abcd=>đpcm$

[hoduchieu01]

61 . $\frac{2 (a^{3}+b^{3}+c^{3})}{abc}$ +  $\frac{9(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$  lớn hơn hoặc bằng    33

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoduchieu01: 11-08-2015 - 23:25

[hoduchieu01]

bài 61 này gợi ý làm theo phương pháp S.O.S nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoduchieu01: 11-08-2015 - 23:25

[Dinh Xuan Hung]

 

51. Cho a; b; c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng:

                        $\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$

 

 

P/s: Mọi người còn bài CM bđt nào thì post lên để cùng thảo luận nhé!

$\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}=\frac{b}{\sqrt{a}}+\frac{c}{\sqrt{b}}+\frac{a}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}+\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}\geq \frac{(\sum \sqrt{a})^2}{\sum \sqrt{a}}+\frac{(\sum \sqrt{a})^2}{\sum \sqrt{a}}=\sum \sqrt{a}+\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right )\geq \sum \sqrt{a}+3\sqrt[3]{\sqrt{(abc)}}=\sum \sqrt{a}+3$

[Boruto]

cách khác cho câu 59 

ta có $\frac{a^3}{b^2}+a\geq \frac{2a^2}{b}$  do đó $\sum \frac{a^3}{b^2}\geq \sum \frac{2a^2}{b}-(a+b+c)$

cần cm $a+b+c\leq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$  (ĐÚNG THEO CAUCHY SCHWAR)

 

do do >= dpcm

[Boruto]

câu 57   

Ta có $abc\leq 1 \rightarrow abc\leq \frac{(a+b+c)^3}{27}\leq 1 \rightarrow a+b+c\leq 3$

 

BDT: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{bc}+\frac{c^2}{ca}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$

 

mat khac $ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}\leq a+b+c$  (DO $ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}= \frac{(a+b+c)(a+b+c)}{3}\leq \frac{3(a+b+c)}{3}=a+b+c$

 

do đó $\sum \frac{a}{b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}= a+b+c$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Boruto: 15-08-2015 - 15:02

[cachcach10x]

62.Phương trình bậc hai $x^{2}+mx+n=0 (n\leq m-1)$ có hai nghiệm là a và b. CMR:$a^{2}+b^{2}\geq 1$

P/s: Bài này chẳng biết là BĐT hay phương trình nữa (thấy nó trong tập BĐT của chị mình nên cho vào BĐT)    .Bài này trích Đề thi chọn HSG toán 9 toàn quốc bảng B, 1994- 1995.

[Hoang Nhat Tuan]

62.Phương trình bậc hai $x^{2}+mx+n=0 (n\leq m-1)$ có hai nghiệm là a và b. CMR:$a^{2}+b^{2}\geq 1$

P/s: Bài này chẳng biết là BĐT hay phương trình nữa (thấy nó trong tập BĐT của chị mình nên cho vào BĐT)    .Bài này trích Đề thi chọn HSG toán 9 toàn quốc bảng B, 1994- 1995.

Ta có: $\Delta =m^2-4n\geq 0=>m^2\geq 4n$

Sử dụng Vi-et thì: $a+b=-m;ab=n$

Khi đó: $a^2+b^2=m^2-2n\geq m^2-2(m-1)=m^2-2m+2\geq 1<=>(m-1)^2\geq 0$

BĐT được chứng minh

Spoiler

Sáng rồi, đi ngủ thôi

[cachcach10x]

Bài 62 còn cách giải nào khác không ạ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cachcach10x: 16-08-2015 - 09:01

[Namthemaster1234]

61 . $\frac{2 (a^{3}+b^{3}+c^{3})}{abc}$ +  $\frac{9(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$  lớn hơn hoặc bằng    33

Chú ý rằng: $\frac{9(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \geq \frac{81abc}{a^3+b^3+c^3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 01-09-2015 - 17:17

[hoduchieu01]

Chú ý rằng: $\frac{9(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \geq \frac{81abc}{a^3+b^3+c^3}$

Bất đẳng thức j vậy bạn mình chưa biết?

 

59
nhân a+b+c dùng cauchy scwarz inequality bài này là JBMO 2002 shortlist

 

57 trích trong gazeta matematica
Dùng bddt cô si

[CaoHoangAnh]

Áp dụng bất đẳng thức Iran 96 có

$(ab+bc+ca)\left ( \frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(a+c)^2} \right )\geq \frac{9}{4}=>\left (  \frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2} +\frac{1}{(a+c)^2}\right )\geq \frac{9}{4} $

Lại có $2\sum \frac{1}{(a+b)(b+c)}=\frac{4(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{4(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=4+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 4 $

=>$=>VT\geq \sqrt{\frac{9}{4}+4}=\frac{5}{2} $

Dấu bằng xảy ra $<=>(a,b,c)=(1,1,0)$ và các hoán vị

Cho mình công thức tổng quát của bất đẳng thức Iran 96 đi

[the unknown]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa $x+y+z=3$. Chứng minh rằng:

                        $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq xy+yz+zx$