Tìm hàm $f:\mathbb{Z}^+\rightarrow \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn :
$$f(m^2+f(n))=f(m)^2+n$$
Tìm hàm $f:\mathbb{Z}^+\rightarrow \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn :
$$f(m^2+f(n))=f(m)^2+n$$
1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn
5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.
Tìm hàm $f:\mathbb{Z}^+\rightarrow \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn :
$$f(m^2+f(n))=f(m)^2+n$$
Bài này nhìn khá quen chắc là làm rồi.
Ta dễ thấy hàm này đơn ánh, ta có:
$f(m^2+(f(f(n)))^2+1)=f(m^2+f((f(n))^2+f(1)))=(f(m))^2+(f(n))^2+f(1)=f(n^2+f((f(m))^2+f(1)))=f(n^2+(f(f(m)))^2+1)$
$\Rightarrow f(m^2+(f(f(n)))^2+1)=f(n^2+(f(f(m)))^2+1) \Rightarrow m^2+(f(f(n)))^2+1=n^2+(f(f(m)))^2+1$
$\Rightarrow m^2+(f(f(n)))^2=n^2+(f(f(m)))^2 \Rightarrow (f(f(m)))^2-(f(f(n)))^2=m^2-n^2,(*)$
Cho $m=k+1,n=k$ vào $(*)$ sao cho $2k+1$ là một số nguyên tố ta có:
$(f(f(k+1)))^2-(f(f(k)))^2=(k+1)^2-k^2=2k+1$
$\Rightarrow (f(f(k+1))-f(f(k)))(f(f(k+1))+f(f(k)))=2k+1$
Do $2k+1$ là số nguyên tố và $f(f(k+1)),f(f(k))$ luôn dương nên suy ra
$f(f(k+1))-f(f(k))=1,f(f(k+1))+f(f(k))=2k+1 \Rightarrow f(f(k+1))=k+1,f(f(k))=k$
Cho $m=k$ vào $(*)\Rightarrow (f(f(k)))^2-(f(f(n)))^2=k^2-n^2\Rightarrow f(f(n))=n,\forall n\in Z^+$
Ta tính $f(1)$ đặt $f(1)=p$ ta có $f(p)=1$
Cho $m=n=p$ vào phương trình đầu ta có
$f(p^2+f(p))=(f(p))^2+p\Rightarrow f(p^2+1)=p+1$
Cho $m=1,n=f(p^2)$ vào phương trình đầu ta có
$f(1+f(f(p^2)))=(f(1))^2+f(p^2)\Rightarrow f(p^2+1)=p^2+f(p^2)$
$\Rightarrow f(p^2)=f(p^2+1)-p^2=p-p^2+1$
$\Rightarrow p-p^2+1=f(p^2)\geq 1\Rightarrow p\geq p^2$
$\Rightarrow p=1\Rightarrow f(1)=1$
Thay $m=1$ và $n$ bằng $f(n)$ ta có $f(1+f(f(n)))=(f(1))^2+f(n)\Rightarrow f(n+1)=f(n)+1$
Từ đây có thể dùng quy nạp để tìm ra hàm số là $f(n)=n$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh