Chủ đề này có 2 trả lời

[NhatMinh96]

Cho X là nhóm con đơn, nghĩa là chỉ gồm 2 nhóm con là {e} và X. Hãy chứng minh X là nhóm cylic hữu hạn và có cấp là số nguyên tốtố.
Cảm ơn mọi người ạ

[Nxb]

Định nghĩa của bạn không quen thuộc lắm. Thường người ta gọi các nhóm chỉ có hai nhóm con chuẩn tắc là nhóm đơn (định nghĩa như bạn thì nhóm đơn là nhóm Z/p thế cần gì phải gọi thêm tên là nhóm đơn nữa cho mệt). Cũng không phải định nghĩa là một nhóm con nào cả. Bài này bạn xét nhóm cyclic nào đó <g> với g khác 1 (trong trường hợp nhóm X là tầm thường thì hiển nhiên). Do định nghĩa của X nên <g>=X. Như vậy X là cyclic. Dễ thấy là trong tất cả các trường hợp thì X chỉ có thể là Z/p với p nguyên tố.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 07-07-2015 - 09:30

[nthkhnimqt]

Chắc bài của chủ topic là cho $G$ là nhóm có hơn 1 phần tử và chỉ có 2 nhóm con là $e$ và $G$. Chứng minh rằng $G$ là nhóm cyclic hữu hạn  cấp nguyên tố, và lời giải như sau
Vì $G$ có hơn 2 ptử nên xét phần tử $a$ bất kỳ khác $e$ khi đó ta có $\left\langle a \right\rangle  \leqslant G$ nếu dấu bằng không xảy ra thì sẽ dẫn tới $G$ có ít nhất 3 nhóm con điều này vô lý, do đó $G$ cyclic. Nếu $\left| G \right| = \infty $ thi $G$ sẽ có vô hạn nhóm con nên cũng vô lý, do đó $G$ có cấp hữu hạn. Ta cm cấp $G$ là nguyên tố. Vì $G$ là cyclic cấp hữu hạn nên và $G$ chỉ có 2 nhóm con nên cấp của $G$ là nguyên tố.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthkhnimqt: 23-08-2015 - 06:34