tròn có diện tích lớn nhất.
Đây là một bài tóan khá nổi tiếng. Trước khi diễn đàn bị "sập" lần
trước có một topic nói về bài này, nhưng khi diễn đàn hoạt động
lại thì topic đó không còn nữa. Mình còn nhớ có một bác cùng một
số bạn cố tìm giải bài toán đó chỉ dùng kiến thức phổ thông,
nhưng chưa ra lời giải. trong topic này mình trình bày 3 lời giải
của bài toán này, 2 trong số đó chắc là nhiều người biết, còn lời
giải thứ 3 theo mình là khá độc đáo.
Lời giải 1: Chú ý một điều là hình có diện tích lớn nhất sẽ có 2 tính
chất sau:
(i) Nó được tạo bởi đường cong lồi. Vì nếu lõm thì trong trường
hợp đơn giản nhất ta vẽ một đường tiếp tuyến đến đường cong
đã cho, ta nhận được một đường cong mới có chu vi nhỏ hơn
đường cong cũ mà diện tích lớn hơn.
(ii) Mọi đường thẳng chia đường biên của hình thành 2 phần có
độ dài bằng nhau thì nó cũng chia hình thành 2 phần với diện tích
bằng nhau. Thật vậy, nếu đường thẳng chia hình của ta thành 2
phần có diện tích khác nhau thì ta chỉ cần vẽ đường cong đối
xứng với phần đường cong tạo ra diện tích lớn hơn. Ta sẽ nhận
được hình có diện tích lớn hơn hình ban đầu mà chu vi vẫn không
đổi.
Vì thế ta chỉ cần tìm một hình được tạo bởi một đường cong lồi
và một đoạn thẳng với tổng độ dài không đổi và diện tích lớn nhất.
Đoạn thẳng ta có thể coi như một đoạn thẳng đối xứng qua tâm O
trên trục Ox và có độ dài a.
Bài toán này tương đương với bài toán tìm sup của functional
sau:
http://dientuvietnam...mimetex.cgi?L(G)=\int_{0}^{2\pi}|\dfrac{dz}{ds}|ds=\int_{0}^{2\pi}|\dfrac{dz}{dt}||\dfrac{dt}{ds}|dt.
Nhưng
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?L=\dfrac{2\pi}{L}\int_{0}^{2\pi}|\dfrac{dz}{dt}|^2dt.
suy ra
Ta thay z(t) bằng x(t), y(t) được viết dưới dạng chuỗi Fuorier và
tính tích phân, ta nhận được
Bất đẳng thức trên tương đương với
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi n=1 và thoả mãn các đẳng thức
sau:
1.
2.
Tức là
Từ đó ta suy ra công thức cụ thể của x, y:
Từ đây ta có thể kết luận rằng đường cong G là đường tròn.
Sau đây là cách giải thứ 3, ta sử dụng một tính chất cơ bản sau:
một hàm số liên tục sẽ đạt được max và min trên một tập
compact.
Trong 2 tính chất mà từ ban đầu mình đề cập đến, nếu ta chú ý
một tí thì có thể kết luận rằng, trong tất cả các hình có chu vi cho
trước, "nếu tồn tại" một hình có diện tích lớn nhất thì nó phải là hình tròn.
Thật vậy, nếu ta gọi đoạn thẳng chia đường cong thành 2 phần có
độ dài bằng nhau là đường kính, thì ta thấy rằng đường kính của
hình ta cần (tức hình có diện tích lớn nhất) sẽ tạo với bất kì 2 điểm
nào khác trên đường cong G một góc 90^o. Các bạn thử kiểm tra
khẳng định này xem nhé. Vấn đề còn lại là ta cần chứng minh sự
tồn tại của một hình như vậy.
Ta xét tập hợp tất cả các hình nằm trong một đường tròn cho
trước, chu vi các hình này và của đường tròn đều không đổi và
bằng L. Trên tập hợp này ta đưa vào một metric sao cho ứng với
metric này tập hợp các hình của chúng ta sẽ trở thành tập
compact. Sau đó xét hàm diện tích của các hình. Hàm diện tích là
một hàm liên tục và nó đạt max trên tập hợp đã cho. Chứng tỏ là
tồn tại một hình có diện tích lớn nhất và có chu vi cho trước. Theo
những suy luận trên thì hình đó phải là hình tròn.
Bài toán được giải quyết một cách hoàn toàn nếu chúng ta có thể
nghĩ ra metric hợp lý trên tập hợp ta đưa ra.
Các bạn thử suy nghĩ!!
Về các bài toán tổng quát hơn các bạn có thể xem trong cuốn
sách Isoperimetric inequalities của tác giả Isaac Chavel (the city
University ò New York).
