Chủ đề này có 1 trả lời

[naruto01]

Cho dãy số $(a_{n})$ . Tìm lim$a_{n}$ 

$\left\{\begin{matrix} a_{1}=\frac{4}{3}\\ (n+2)^{2}a_{n}=n^{2}a_{n+1}-(n+1)a_{n}a_{n+1} \end{matrix}\right.\forall n\geq 1,n\in N$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi naruto01: 09-07-2015 - 21:15

[Rias Gremory]

 

Cho dãy số $(a_{n})$ . Tìm lim$a_{n}$ 

$\left\{\begin{matrix} a_{1}=\frac{4}{3}\\ (n+2)^{2}a_{n}=n^{2}a_{n+1}-(n+1)a_{n}a_{n+1} \end{matrix}\right.\forall n\geq 1,n\in N$

 

Ta có $a_n\neq 0,\forall n\in N^*$

Thật vậy , giả sử $a_n=0$

$gt:(n+2)^2a_n=n^2a_{n+1}-(n+1)a_n.a_{n+1}$

$\Leftrightarrow (n+2)^2.a_{n-1}=n^2a_n-(n+1)a_{n-1}.a_n\Rightarrow a_{n-1}=0$

Lập luận tương tự ta được $a_1=0$ trái với giả thiết nên $a_n\neq 0,\forall n\in N^*$

Từ giả thiết ta được : $\frac{(n+2)^2}{a_{n+1}}=\frac{n^2}{a_n}-(n+1)$  (1)

Đặt $x_n=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{4}$

$\Rightarrow x_1=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{4}=1$

(1) trở thành $(n+2)^2(x_{n+1}-\frac{1}{4})=n^2(x_n-\frac{1}{4})-(n+1)$

$\Leftrightarrow (n+2)^2.x_{n+1}=n^2.x_n$

$\Rightarrow x_{n+1}=\frac{n^2}{(n+2)^2}.x_n$

$\Rightarrow x_n=(\frac{n-1}{n+1})^2.(\frac{n-2}{n})^2...(\frac{1}{3})^2.x_1=\frac{4}{n^2.(n+1)^2}$

$\Rightarrow a_n=\frac{4n^2(n+1)^2}{16-n^2(n+1)^2}\Rightarrow Lima_n=4$