Đến nội dung

Hình ảnh

Cm từ 16 số nguyên dương không vượt quá 100 ta có thể chọn ra 4 số khác nhau a,b,c,d sao cho a+b = c+d

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Riann levil

Riann levil

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 112 Bài viết

Chứng minh rằng từ 16 số nguyên dương không vượt quá 100 ta có thể chọn ra 4 số khác nhau a,b,c,d sao cho a+b = c+d



#2
Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết

Chứng minh rằng từ 16 số nguyên dương không vượt quá 100 ta có thể chọn ra 4 số khác nhau a,b,c,d sao cho a+b = c+d

Bài giải: Xét các số nguyên dương $0<x_1<x_2<x_3<...<x_{16}<100$, ta đi đếm số bộ đôi $(a,b)$ với $a-b>0$, đó là $C_{16}^2=120$, tức là có tất cả $120$ hiệu $a-b$ với $a>b$ trong $16$ số này

Vì $16$ số này nguyên dương bé hơn $101$ nên các hiệu có giá trị bé nhất là $1$, lớn nhất là $99$, tức là $a-b$ với $a>b$ chỉ nhận một trong tối đa $99$ giá trị

Theo nguyên lí $Di-rich-le$, tồn tại $2$ hiệu bằng nhau, giả sử $x_1-x_2=x_3-x_4$

+)Nếu $x_1=x_3=>x_2=x_4$, đây là điều vô lí vì ta đang lấy hai bộ phân biệt(tức là giống nhau nhiều nhất một số trong mỗi bộ)

+)Tương tự $x_2=x_4$ cũng vô lí

+)Nếu $x_2=x_3=x$ (trường hợp $x_1=x_4$ tương tự) thì $x_1-x=x-x_4$

Bây giờ ta gọi $x$ là một số xấu cho một bộ cặp $(x_i,x),(x,x_j)$ nếu thỏa $x_i-x=x-x_j$

a)Nếu $x$ là số xấu cho $2$ bộ cặp thì ta có ngay điều phải chứng minh, vì $x_1+x_4=x_2+x_3=2x$

b)Nếu $x$ là số xấu cho nhiều nhất một bộ cặp, thì với mỗi $x_i$,ta loại đi một cặp trong bộ cặp đó, và như thế ta còn lại ít nhất $104$ cặp mà $x_i$ không là số xấu cho bộ cặp nào. Như vậy thì do $104>99$, vẫn tồn tại hai hiệu bằng nhau $x_a-x_b=x_c-x_d$, và như thế $x_a,x_b,x_c,x_d$ thỏa đề


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 12-07-2015 - 19:02

NgọaLong




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh