Chủ đề này có 2 trả lời

[quan1234]

Cho a,b,c là 3 số dương.Chứng minh:

$\frac{1}{a\sqrt{a+b}}+\frac{1}{b\sqrt{b+c}}+\frac{1}{c\sqrt{c+a}}\geq \frac{3}{\sqrt{2abc}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quan1234: 15-07-2015 - 23:08

[Truong Gia Bao]

Cho a,b,c là 3 số dương.Chứng minh:

$\frac{1}{a\sqrt{a+b}}+\frac{1}{b\sqrt{b+c}}+\frac{1}{c\sqrt{c+a}}\geq \frac{3}{\sqrt{2abc}}$

BĐT cần chứng minh tương đương với:

 $\sum \frac{bc}{\sqrt{abc(a+b)}}\geq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Đặt $ab=x. bc=y, ca=z$. Khi đó cần chứng minh:

$\sum \frac{y}{\sqrt{2x(y+z)}}\geq \frac{3}{2}$

Sử dụng BĐT AM-GM: $\sum \frac{y}{\sqrt{2x(y+z)}}\geq \sum \frac{2y}{2x+y+z}=2\sum \frac{y^2}{2xy+y^2+yz}\geq \frac{2(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2+xy+yz+xz}\geq \frac{2(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2+\frac{(x+y+z)^2}{3}}=\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

[KietLW9]

Cho a,b,c là 3 số dương.Chứng minh:

$\frac{1}{a\sqrt{a+b}}+\frac{1}{b\sqrt{b+c}}+\frac{1}{c\sqrt{c+a}}\geq \frac{3}{\sqrt{2abc}}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $\sqrt{\frac{2bc}{a(a+b)}}+\sqrt{\frac{2ca}{b(b+c)}}+\sqrt{\frac{2ab}{c(c+a)}}\geqslant 3$

Áp dụng Cauchy, ta có: $\sqrt{\frac{a(a+b)}{2bc}}\leqslant \frac{1}{2}(\frac{a+b}{2b}+\frac{a}{c})=\frac{2ab+bc+ca}{4bc}\Rightarrow \sqrt{\frac{2bc}{a(a+b)}}\geqslant \frac{4bc}{2ab+bc+ca}$

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\sqrt{\frac{2bc}{a(a+b)}}+\sqrt{\frac{2ca}{b(b+c)}}+\sqrt{\frac{2ab}{c(c+a)}}\geqslant \frac{4bc}{2ab+bc+ca}+\frac{4ca}{2bc+ca+ab}+\frac{4ab}{2ca+ab+bc}=\sum_{cyc}\frac{4(bc)^2}{2ab.bc+(bc)^2+ca.bc}\geqslant \frac{4(ab+bc+ca)^2}{(ab+bc+ca)^2+ab.bc+bc.ca+ca.ab}\geqslant \frac{4(ab+bc+ca)^2}{(ab+bc+ca)^2+\frac{(ab+bc+ca)^2}{3}}=3(Q.E.D)$

Đẳng thức xảy ra khi $a = b = c$