Chủ đề này có 4 trả lời

[Nguyen Minh Hai]

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:

 

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a+b+c \geqslant \frac{6(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$

 

Spoiler

Mở rộng: Tìm số $k$ tốt nhất để BĐT sau đúng:

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+k(a+b+c) \geqslant 3(k+1)\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$

 

P/s: Mong chờ một lời giải bằng BĐT $Cauchy-Schwarz$      

[NhatTruong2405]

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:
 
$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a+b+c \geqslant \frac{6(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$
 

Spoiler

Mở rộng: Tìm số $k$ tốt nhất để BĐT sau đúng:
$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+k(a+b+c) \geqslant 3(k+1)\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$
 
P/s: Mong chờ một lời giải bằng BĐT $Cauchy-Schwarz$      

KMTTQ gia su giả sử b nằm giữa a và c
BDT can chung minh tuong duong: $\sum (\frac{a^2}{b}+b-2a)\geq \frac{6(\sum a^2)}{\sum a}-2(\sum a)$
$\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^2}{b}\geq \frac{6(\sum a^2)}{\sum a}-2(\sum a)$
Ap dung BDT Cauchy-Schwarz: $\sum \frac{(a-b)^2}{b}\geq \frac{[(a-b)+(b-c)+(a-c)]^2}{a+b+c}=\frac{4(a-c)^2}{a+b+c}$
Can chung minh: $2(a-c)^2\geq 3(\sum a^2)-(\sum a)^2 \Leftrightarrow 2(b-c)(b-a)\leq 0$(dung theo gia su)
Vay BDT duoc chung minh

Spoiler

Ban co the tham khao cuon sach Phan loai va phuong phap giai toan BDT cua VQBC ay  Minh dac biet thay cuon do hay

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NhatTruong2405: 16-07-2015 - 17:57

[Hoang Nhat Tuan]

KMTTQ gia su $a\leq b\leq c$

BDT can chung minh tuong duong: $\sum (\frac{a^2}{b}+b-2a)\geq \frac{6(\sum a^2)}{\sum a}-2(\sum a)$

$\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^2}{b}\geq \frac{6(\sum a^2)}{\sum a}-2(\sum a)$

Ap dung BDT Cauchy-Schwarz: $\sum \frac{(a-b)^2}{b}\geq \frac{[(a-b)+(b-c)+(a-c)]^2}{a+b+c}=\frac{4(a-c)^2}{a+b+c}$

Can chung minh: $2(a-c)^2\geq 3(\sum a^2)-(\sum a)^2 \Leftrightarrow 2(b-c)(b-a)\leq 0$(dung theo gia su)

Vay BDT duoc chung minh

Spoiler

Ban co the tham khao cuon sach Phan loai va phuong phap giai toan BDT cua VQBC ay  Minh dac biet thay cuon do hay

Bạn giả sử như vậy là sai ngay từ đầu

Lời giải giống bạn nhưng mình sẽ giả sử b nằm giữa a và c

Khi đó dễ dàng rồi

[dogsteven]

Phải công nhận mấy bài dạng này yếu tố cho lời giải đẹp kinh hồn.

[NhatTruong2405]

 

Bạn giả sử như vậy là sai ngay từ đầu
Lời giải giống bạn nhưng mình sẽ giả sử b nằm giữa a và c
Khi đó dễ dàng rồi

Minh da fix loi roi,cam on ban

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NhatTruong2405: 16-07-2015 - 17:58