Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $a,b,c$ không âm thỏa $a+b+c=1$

bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
1110004

1110004

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 217 Bài viết

Cho $a,b,c$ không âm thỏa $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $(a+1)(a+b)(b+c)(c+1)\geq 20abc$


Dẫu biết cố quên là sẽ nhỡ------------------------------------------------nên dặn lòng cố nhớ để mà quên

                                      

Jaian xin hát bài mưa ơi xin đừng rơi ạ!!  66.gifMưa ơi đừng rơi nữa ..........                                                                                                                                                                                                                                                               .........Mẹ vẫn chưa về đâu!..............


#2
hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết

Cho $a,b,c$ không âm thỏa $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $(a+1)(a+b)(b+c)(c+1)\geq 20abc$

Bất đẳng thức cần cm tương đương với 

$\Leftrightarrow (a+1)(1-a)(c+1)(1-c)\geq 20abc$ (vì theo gt $a+b+c=1$)

$\Leftrightarrow 1-c^{2}-a^{2}+a^{2}c^{2}\geq 20abc\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}-c^{2}-a^{2}+a^{2}c^{2}\geq 20abc\Leftrightarrow b^{2}+a^{2}c^{2}+2(ab+bc+ca)\geq 20abc$

Áp dụng AM-GM nhận thấy $b^{2}+a^{2}c^{2}\geq 2abc$

Do đó bây giờ ta cần cm $2(ab+bc+ca)\geq 18abc\Leftrightarrow ab+bc+ca\geq 9abc\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 9=\frac{9}{a+b+c}$ (đây là 1 bất đẳng thức đúng)

Vậy ta có đpcm



#3
1110004

1110004

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 217 Bài viết

 

Do đó bây giờ ta cần cm $2(ab+bc+ca)\geq 18abc\Leftrightarrow ab+bc+ca\geq 9abc\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 9=\frac{9}{a+b+c}$ (đây là 1 bất đẳng thức đúng)

Vậy ta có đpcm

 

Theo mình có lẽ nên nói trước nếu $a,b,c$ bằng $0$ thì hiển nhiên đúng trước đã khí đó mới dùng BĐT này!
 

 

 

$\Leftrightarrow 1-c^{2}-a^{2}+a^{2}c^{2}\geq 20abc\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}-c^{2}-a^{2}+a^{2}c^{2}\geq 20abc\Leftrightarrow b^{2}+a^{2}c^{2}+2(ab+bc+ca)\geq 20abc$

 

 

Chổ này vậy mà không nghĩ ra hay thật!!


Dẫu biết cố quên là sẽ nhỡ------------------------------------------------nên dặn lòng cố nhớ để mà quên

                                      

Jaian xin hát bài mưa ơi xin đừng rơi ạ!!  66.gifMưa ơi đừng rơi nữa ..........                                                                                                                                                                                                                                                               .........Mẹ vẫn chưa về đâu!..............


#4
Riann levil

Riann levil

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 112 Bài viết

Bất đẳng thức cần cm tương đương với 

$\Leftrightarrow (a+1)(1-a)(c+1)(1-c)\geq 20abc$ (vì theo gt $a+b+c=1$)

$\Leftrightarrow 1-c^{2}-a^{2}+a^{2}c^{2}\geq 20abc\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}-c^{2}-a^{2}+a^{2}c^{2}\geq 20abc\Leftrightarrow b^{2}+a^{2}c^{2}+2(ab+bc+ca)\geq 20abc$

Áp dụng AM-GM nhận thấy $b^{2}+a^{2}c^{2}\geq 2abc$

Do đó bây giờ ta cần cm $2(ab+bc+ca)\geq 18abc\Leftrightarrow ab+bc+ca\geq 9abc\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 9=\frac{9}{a+b+c}$ (đây là 1 bất đẳng thức đúng)

Vậy ta có đpcm

Chỗ màu đỏ dấu bằng xảy ra khi b=ac, còn chỗ màu xanh xảy ra khi a=b=c. Vậy tóm lại dấu bằng không xảy ra chăng? Hay là a sai ở chỗ nào?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Riann levil: 19-07-2015 - 22:47






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh