Cho $a,b,c$ không âm thỏa $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $(a+1)(a+b)(b+c)(c+1)\geq 20abc$
#1
Đã gửi 17-07-2015 - 15:01
#2
Đã gửi 17-07-2015 - 15:24
Cho $a,b,c$ không âm thỏa $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $(a+1)(a+b)(b+c)(c+1)\geq 20abc$
Bất đẳng thức cần cm tương đương với
$\Leftrightarrow (a+1)(1-a)(c+1)(1-c)\geq 20abc$ (vì theo gt $a+b+c=1$)
$\Leftrightarrow 1-c^{2}-a^{2}+a^{2}c^{2}\geq 20abc\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}-c^{2}-a^{2}+a^{2}c^{2}\geq 20abc\Leftrightarrow b^{2}+a^{2}c^{2}+2(ab+bc+ca)\geq 20abc$
Áp dụng AM-GM nhận thấy $b^{2}+a^{2}c^{2}\geq 2abc$
Do đó bây giờ ta cần cm $2(ab+bc+ca)\geq 18abc\Leftrightarrow ab+bc+ca\geq 9abc\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 9=\frac{9}{a+b+c}$ (đây là 1 bất đẳng thức đúng)
Vậy ta có đpcm
- 1110004 và O0NgocDuy0O thích
#3
Đã gửi 17-07-2015 - 15:59
Do đó bây giờ ta cần cm $2(ab+bc+ca)\geq 18abc\Leftrightarrow ab+bc+ca\geq 9abc\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 9=\frac{9}{a+b+c}$ (đây là 1 bất đẳng thức đúng)
Vậy ta có đpcm
Theo mình có lẽ nên nói trước nếu $a,b,c$ bằng $0$ thì hiển nhiên đúng trước đã khí đó mới dùng BĐT này!
$\Leftrightarrow 1-c^{2}-a^{2}+a^{2}c^{2}\geq 20abc\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}-c^{2}-a^{2}+a^{2}c^{2}\geq 20abc\Leftrightarrow b^{2}+a^{2}c^{2}+2(ab+bc+ca)\geq 20abc$
Chổ này vậy mà không nghĩ ra hay thật!!
Dẫu biết cố quên là sẽ nhỡ------------------------------------------------nên dặn lòng cố nhớ để mà quên
Jaian xin hát bài mưa ơi xin đừng rơi ạ!! Mưa ơi đừng rơi nữa .......... .........Mẹ vẫn chưa về đâu!..............
#4
Đã gửi 19-07-2015 - 22:46
Bất đẳng thức cần cm tương đương với
$\Leftrightarrow (a+1)(1-a)(c+1)(1-c)\geq 20abc$ (vì theo gt $a+b+c=1$)
$\Leftrightarrow 1-c^{2}-a^{2}+a^{2}c^{2}\geq 20abc\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}-c^{2}-a^{2}+a^{2}c^{2}\geq 20abc\Leftrightarrow b^{2}+a^{2}c^{2}+2(ab+bc+ca)\geq 20abc$
Áp dụng AM-GM nhận thấy $b^{2}+a^{2}c^{2}\geq 2abc$
Do đó bây giờ ta cần cm $2(ab+bc+ca)\geq 18abc\Leftrightarrow ab+bc+ca\geq 9abc\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 9=\frac{9}{a+b+c}$ (đây là 1 bất đẳng thức đúng)
Vậy ta có đpcm
Chỗ màu đỏ dấu bằng xảy ra khi b=ac, còn chỗ màu xanh xảy ra khi a=b=c. Vậy tóm lại dấu bằng không xảy ra chăng? Hay là a sai ở chỗ nào?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Riann levil: 19-07-2015 - 22:47
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh