Giải PTH trên tập số thực:
$f(f(x)+y)=f(x+y)+xf(y)-xy-x+1$
Giải PTH trên tập số thực:
$f(f(x)+y)=f(x+y)+xf(y)-xy-x+1$
Lời giải. Đặt $g(x)=f(x)-x-1$ thì phương trình tương đương với
$$\begin{equation} \label{pt1} g \left( g(x)+x+y+1 \right)+g(x)=g(x+y)+xg(y). \end{equation}$$
Giả sử $P(x,y)$ là tính chất của $\ref{pt1}$ thì $P(0,0) \Rightarrow g(g(0)+1)=0$.
$P(g(0)+1,0) \Rightarrow g(g(0)+2)=g(0)^2+g(0). \qquad (2)$
$P(0,g(0)+1) \Rightarrow g(2g(0)+2)=-g(0). \qquad (3)$
$P(0,y) \Rightarrow g(g(0)+y+1)+g(0)=g(y). \qquad (4)$
$P(g(0)+1,y) \Rightarrow g(g(0)+y+2)=g(g(0)+y+1)+ \left(g(0)+1 \right)g(y). \qquad (5)$
Kết hợp $(4)$ với $(5)$ ta được $g(y+1)-g(y)=\left( g(0)+1 \right) g(y)$ hay $g(y+1)=\left( g(0)+2 \right) g(y). \qquad (6)$
Thay $y=g(0)+1$ vào $(6)$ ta được $g(g(0)+2)=0$. Kết hợp với $(2)$ ta thu được $g(0) \left( g(0)+1 \right)=0$. Như vậy $g(0)=0$ hoặc $g(0)=-1$.
Nếu $g(0)=-1$ thì từ $(3)$ ta suy ra mâu thuẫn, vì $VT=g(2g(0)+2)=g(0)=-1$ mà $VP=-g(0)=1$.
Nếu $g(0)=0$ thì từ $(4)$ suy ra $g(y+1)=g(y)$. Do đó $g(1)=g(0)=0$ và $g(y+2)=g(y+1)$.
Ta lại có $P(1,y) \Rightarrow g(y+2)=g(y+1)+g(y)$ nên $g(y) \equiv 0, \; \forall y \in \mathbb{R}.$
Khi đó $f(x)=x+1, \; \forall x \in \mathbb{R}.$
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
thực ra bài này có cách giải khác đấy mấy thánh:
Thử cho y=0 và chú ý nhị thức bậc nhất ax+b=0 có vô số nghiệm khi và chỉ khi a=b=0
Khi đó ứng dụng vào bài này cho ta f(x)=x+1.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangkhuong: 19-07-2015 - 13:47
Toán Trung học Cơ sở →
Tài liệu - Đề thi →
vmo vĩnh phúc 2022Bắt đầu bởi nhatvinh2018, 27-12-2021 hay |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Tài liệu - Đề thi →
vmo ninh thuận 2022Bắt đầu bởi nhatvinh2018, 10-12-2021 hay |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Lượng giác →
Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác →
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CỰC HAY VÀ KHÓBắt đầu bởi baonghi, 18-07-2019 ptlg, hay, khó, lượng giác và . |
|
|||
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Giúp BĐT nhéBắt đầu bởi VuTroc, 28-05-2018 bđt hay, hay, bđt |
|
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
$A=x^2y^3+y^2z^3+z^2x^3+(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2$Bắt đầu bởi meoluoi123, 13-10-2017 cực trị, bất đẳng thức và . |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh