Đến nội dung

Hình ảnh

$f(f(x)+y)=f(x+y)+xf(y)-xy-x+1$

- - - - - hay

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

Giải PTH trên tập số thực:

$f(f(x)+y)=f(x+y)+xf(y)-xy-x+1$


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#2
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Giải PTH trên tập số thực:

$f(f(x)+y)=f(x+y)+xf(y)-xy-x+1$

Lời giải. Đặt $g(x)=f(x)-x-1$ thì phương trình tương đương với 

$$\begin{equation} \label{pt1} g \left(  g(x)+x+y+1 \right)+g(x)=g(x+y)+xg(y). \end{equation}$$

Giả sử $P(x,y)$ là tính chất của $\ref{pt1}$ thì $P(0,0) \Rightarrow g(g(0)+1)=0$.

$P(g(0)+1,0) \Rightarrow g(g(0)+2)=g(0)^2+g(0). \qquad (2)$

$P(0,g(0)+1) \Rightarrow g(2g(0)+2)=-g(0). \qquad (3)$

$P(0,y) \Rightarrow g(g(0)+y+1)+g(0)=g(y). \qquad (4)$

$P(g(0)+1,y) \Rightarrow g(g(0)+y+2)=g(g(0)+y+1)+ \left(g(0)+1 \right)g(y). \qquad (5)$

Kết hợp $(4)$ với $(5)$ ta được $g(y+1)-g(y)=\left( g(0)+1 \right) g(y)$ hay $g(y+1)=\left( g(0)+2 \right) g(y). \qquad (6)$

Thay $y=g(0)+1$ vào $(6)$ ta được $g(g(0)+2)=0$. Kết hợp với $(2)$ ta thu được $g(0) \left( g(0)+1 \right)=0$. Như vậy $g(0)=0$ hoặc $g(0)=-1$.

 

Nếu $g(0)=-1$ thì từ $(3)$ ta suy ra mâu thuẫn, vì $VT=g(2g(0)+2)=g(0)=-1$ mà $VP=-g(0)=1$.

Nếu $g(0)=0$ thì từ $(4)$ suy ra $g(y+1)=g(y)$. Do đó $g(1)=g(0)=0$ và $g(y+2)=g(y+1)$.

Ta lại có $P(1,y) \Rightarrow g(y+2)=g(y+1)+g(y)$ nên $g(y) \equiv 0, \; \forall y \in \mathbb{R}.$

Khi đó $f(x)=x+1, \; \forall x \in \mathbb{R}.$


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#3
dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

thực ra bài này có cách giải khác đấy mấy thánh:

Thử cho y=0 và chú ý nhị thức bậc nhất ax+b=0 có vô số nghiệm khi và chỉ khi a=b=0

Khi đó ứng dụng vào bài này cho ta f(x)=x+1.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangkhuong: 19-07-2015 - 13:47

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hay

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh