Đến nội dung

Hình ảnh

$f(f(xy^2-y+1))+2yf(x)=3y^3+f(xy)+1$

- - - - - khá khó

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

Giải PTH sau trên tập R:

$f(f(xy^2-y+1))+2yf(x)=3y^3+f(xy)+1$


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#2
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Giải PTH sau trên tập R:

$f(f(xy^2-y+1))+2yf(x)=3y^3+f(xy)+1 \qquad (1)$

Lời giải. Giả sử $P(x,y)$ là tính chất của $(1)$.

$P(x,1) \Rightarrow f(f(x))=4-f(x). \qquad (2)$

$P(0,y) \Rightarrow f \left( f(1-y) \right)+2yf(0)=3y^3+f(0)+1 \Rightarrow f(1-y)=-3y^3+2yf(0)-f(0)+3. \qquad (3)$

$P\left( \tfrac 12 , 2 \right) \Rightarrow f \left( f(1) \right)+4f \left( \tfrac 12 \right)=25+f(1) \Rightarrow 4f \left( \tfrac 12 \right)=21+2f(1) \qquad (4)$

Mặt khác, thay $y= \tfrac 12 $ vào $(3)$ thì $f \left( \tfrac 12 \right)= \tfrac{21}{8}$. Do đó $(4) \Rightarrow f(1)=\tfrac{-21}{4}$.

$P(x,0) \Rightarrow f(f(1))=f(0)+1 \Rightarrow f(0)+f(1)=3 \Rightarrow f(0)= \tfrac{33}{4}$.

Do đó $(3) \Rightarrow f(1-y)=-3y^3+ \tfrac{33}{2}y-\tfrac{33}{4}+3 \qquad (5)$.

$P(-1,-1) \Rightarrow f(-1)=3-f(1)=\tfrac{33}{4}$.

Thay $y=2$ vào $(5)$ ta được $f(-1)=\tfrac{15}{4}$, mâu thuẫn.

Vậy phương trình không có nghiệm.


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#3
So Surprised

So Surprised

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Lời giải. Giả sử $P(x,y)$ là tính chất của $(1)$.

$P(x,1) \Rightarrow f(f(x))=4-f(x). \qquad (2)$

$P(0,y) \Rightarrow f \left( f(1-y) \right)+2yf(0)=3y^3+f(0)+1 \Rightarrow f(1-y)=-3y^3+2yf(0)-f(0)+3. \qquad (3)$

$P\left( \tfrac 12 , 2 \right) \Rightarrow f \left( f(1) \right)+4f \left( \tfrac 12 \right)=25+f(1) \Rightarrow 4f \left( \tfrac 12 \right)=21+2f(1) \qquad (4)$

Mặt khác, thay $y= \tfrac 12 $ vào $(3)$ thì $f \left( \tfrac 12 \right)= \tfrac{21}{8}$. Do đó $(4) \Rightarrow f(1)=\tfrac{-21}{4}$.

$P(x,0) \Rightarrow f(f(1))=f(0)+1 \Rightarrow f(0)+f(1)=3 \Rightarrow f(0)= \tfrac{33}{4}$.

Do đó $(3) \Rightarrow f(1-y)=-3y^3+ \tfrac{33}{2}y-\tfrac{33}{4}+3 \qquad (5)$.

$P(-1,-1) \Rightarrow f(-1)=3-f(1)=\tfrac{33}{4}$.

Thay $y=2$ vào $(5)$ ta được $f(-1)=\tfrac{15}{4}$, mâu thuẫn.

Vậy phương trình không có nghiệm.

 

cũng có thể tìm ra hàm f rồi thay lại cũng không thoả mãn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi So Surprised: 13-06-2019 - 20:19






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: khá khó

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh