Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum (\frac{a}{a+b})^2\geq \frac{1}{4}+2\sqrt{\frac{2abc}{3(a+b+c)-\frac{1}{8}}}$

- - - - - khó

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

Cho a,b,c>0: $ab+bc+ca=\frac{3}{4}$ sao cho  $a+b+c\neq \frac{1}{24}$. CMR:

$(\frac{a}{a+b})^2+(\frac{b}{b+c})^2+(\frac{c}{c+a})^2\geq \frac{1}{4}+2\sqrt{\frac{2abc}{3(a+b+c)-\frac{1}{8}}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangkhuong: 19-07-2015 - 17:36

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#2
Chris yang

Chris yang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết

Cho a,b,c>0: $ab+bc+ca=\frac{3}{4}$ sao cho  $a+b+c\neq \frac{1}{24}$. CMR:

$(\frac{a}{a+b})^2+(\frac{b}{b+c})^2+(\frac{c}{c+a})^2\geq \frac{1}{4}+2\sqrt{\frac{2abc}{3(a+b+c)-\frac{1}{8}}}$

 

Áp dụng AM-GM dễ dàng chứng minh được $\frac{1}{4}+2\sqrt{\frac{2abc}{3(a+b+c)-\frac{1}{8}}}\leq \frac{3}{4}$

 

Bây giờ cần chỉ ra $\sum (\frac{a}{a+b})^2\geq \frac{3}{4}$. Bằng cách chuyển $(\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c})=(x,y,z)$ ta đi cm

 

$\sum \frac{1}{(1+x)^2}\geq \frac{3}{4}$ với $xyz=1$ đơn giản như sau:

 

$\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}+\frac{1}{(z+1)^2}\geq \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{(z+1)^2}=\frac{z^2+z+1}{(z+1)^2}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow (z-1)^2\geq 0$ ( đúng)

 

Nên ta có đpcm



#3
an1712

an1712

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 149 Bài viết

 

 

Áp dụng AM-GM dễ dàng chứng minh được $\frac{1}{4}+2\sqrt{\frac{2abc}{3(a+b+c)-\frac{1}{8}}}\leq \frac{3}{4}$

 

Bây giờ cần chỉ ra $\sum (\frac{a}{a+b})^2\geq \frac{3}{4}$. Bằng cách chuyển $(\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c})=(x,y,z)$ ta đi cm

 

$\sum \frac{1}{(1+x)^2}\geq \frac{3}{4}$ với $xyz=1$ đơn giản như sau:

 

$\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}+\frac{1}{(z+1)^2}\geq \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{(z+1)^2}=\frac{z^2+z+1}{(z+1)^2}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow (z-1)^2\geq 0$ ( đúng)

 

Nên ta có đpcm

dấu bằng khi nào z bạn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi an1712: 19-07-2015 - 18:05

tiến tới thành công  :D


#4
Chris yang

Chris yang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết

dấu bằng khi nào z bạn

Tất nhien là khi $a=b=c=\frac{1}{2}$ 



#5
arsfanfc

arsfanfc

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết

Áp dụng AM-GM dễ dàng chứng minh được $\frac{1}{4}+2\sqrt{\frac{2abc}{3(a+b+c)-\frac{1}{8}}}\leq \frac{3}{4}$

 

Bây giờ cần chỉ ra $\sum (\frac{a}{a+b})^2\geq \frac{3}{4}$. Bằng cách chuyển $(\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c})=(x,y,z)$ ta đi cm

 

$\sum \frac{1}{(1+x)^2}\geq \frac{3}{4}$ với $xyz=1$ đơn giản như sau:

 

$\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}+\frac{1}{(z+1)^2}\geq \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{(z+1)^2}=\frac{z^2+z+1}{(z+1)^2}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow (z-1)^2\geq 0$ ( đúng)

 

Nên ta có đpcm

bạn nói rõ hơn đoạn này được không  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:


~YÊU ~


#6
Chris yang

Chris yang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết

bạn nói rõ hơn đoạn này được không  :closedeyes:  :closedeyes:

Sao vậy nhỉ, xài AM-GM thôi mà :D $ab+bc+ac\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$ suy ra $abc\leq \frac{1}{8}$ và $(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$ suy ra $a+b+c\geq \frac{3}{2}$ nên VP $\leq \frac{3}{4}$



#7
an1712

an1712

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 149 Bài viết

Áp dụng AM-GM dễ dàng chứng minh được $\frac{1}{4}+2\sqrt{\frac{2abc}{3(a+b+c)-\frac{1}{8}}}\leq \frac{3}{4}$

 

Bây giờ cần chỉ ra $\sum (\frac{a}{a+b})^2\geq \frac{3}{4}$. Bằng cách chuyển $(\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c})=(x,y,z)$ ta đi cm

 

$\sum \frac{1}{(1+x)^2}\geq \frac{3}{4}$ với $xyz=1$ đơn giản như sau:

 

$\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}+\frac{1}{(z+1)^2}\geq \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{(z+1)^2}=\frac{z^2+z+1}{(z+1)^2}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow (z-1)^2\geq 0$ ( đúng)

 

Nên ta có đpcm

x=y=z=$\frac{1}{2}$  ko thảo mã đâu bạn,mk nghĩ bài này ko có dấu =


tiến tới thành công  :D






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: khó

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh