Cho a,b,c>0: $ab+bc+ca=\frac{3}{4}$ sao cho $a+b+c\neq \frac{1}{24}$. CMR:
$(\frac{a}{a+b})^2+(\frac{b}{b+c})^2+(\frac{c}{c+a})^2\geq \frac{1}{4}+2\sqrt{\frac{2abc}{3(a+b+c)-\frac{1}{8}}}$
Áp dụng AM-GM dễ dàng chứng minh được $\frac{1}{4}+2\sqrt{\frac{2abc}{3(a+b+c)-\frac{1}{8}}}\leq \frac{3}{4}$
Bây giờ cần chỉ ra $\sum (\frac{a}{a+b})^2\geq \frac{3}{4}$. Bằng cách chuyển $(\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c})=(x,y,z)$ ta đi cm
$\sum \frac{1}{(1+x)^2}\geq \frac{3}{4}$ với $xyz=1$ đơn giản như sau:
$\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}+\frac{1}{(z+1)^2}\geq \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{(z+1)^2}=\frac{z^2+z+1}{(z+1)^2}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow (z-1)^2\geq 0$ ( đúng)
Nên ta có đpcm