Chủ đề này có 4 trả lời

[phamngochung9a]

Cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

$A=\sum \frac{a^{2}+1}{b^{2}+1}\leq \frac{7}{2}$

[hoanglong2k]

Cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

$A=\sum \frac{a^{2}+1}{b^{2}+1}\leq \frac{7}{2}$

 Ta có : $a+b+c=1\Rightarrow a,b,c\in [0;1]\Rightarrow a^2+b^2+c^2\leq a+b+c=1$

 Lại có :

   $A=\sum \frac{a^2+1}{b^2+1}=\sum \left [ a^2+1-\frac{b^2(a^2+1)}{b^2+1} \right ]$

   $=a^2+b^2+c^2+3-\sum \frac{a^2b^2+b^2}{b^2+1}\leq a^2+b^2+c^2+3-\sum \frac{a^2b^2+b^2}{2}$

   $=3+\frac{a^2+b^2+c^2-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2}{2}\leq 3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$

 Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(1,0,0)$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 20-07-2015 - 22:28

[Riann levil]

 Ta có : $a+b+c=1\Rightarrow a,b,c\in [0;1]\Rightarrow a^2+b^2+c^2\leq a+b+c=1$

 Lại có :

   $A=\sum \frac{a^2+1}{b^2+1}=\sum \left [ a^2+1-\frac{b^2(a^2+1)}{b^2+1} \right ]$

   $=a^2+b^2+c^2+3-\sum \frac{a^2b^2+b^2}{b^2+1}\leq a^2+b^2+c^2+3-\sum \frac{a^2b^2+b^2}{2}$

   $=3+\frac{a^2+b^2+c^2-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2}{2}\leq 3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi nào đấy bạn??

[phamngochung9a]

Dấu bằng xảy ra khi nào đấy bạn??

Khi trong 3 số $a,b,c$ có 2 số bằng $0$, một số bằng $1$

[KietLW9]

Giả sử a = max{a,b,c} thì $\frac{1}{3}\leqslant a\leqslant 1$  

 

Ta xét bất đẳng thức: $\frac{b^2+1}{c^2+1}+\frac{c^2+1}{a^2+1}\leqslant (b+c)^2+1+\frac{1}{a^2+1}$ 

Nó tương đương với: $\frac{c(a^2c^3+2a^2bc^2+2bc^2+a^2b^2c+b^2c+2a^2c+c+2a^2b+2b)}{(a^2+1)(c^2+1)}\geqslant 0$ 

và $\frac{a^2+1}{b^2+1}\leqslant a^2+1$ 

Suy ra $VT\leqslant a^2+(b+c)^2 + \frac{1}{a^2+1}+2\leqslant \frac{7}{2}\Leftrightarrow \frac{(1-a)(1-3a-4a^3)}{2(a^2+1)}\leqslant 0$   *đúng*

Đẳng thức xảy ra khi có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1