Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a}{b^2+16ca+c^2}+\frac{b}{c^2+16ab+a^2}+\frac{c}{a^2+16bc+b^2}\geq \frac{1}{6}$

- - - - - hay

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

Cho a,b,c>0: $a+b+c=3$. CMR:

$\frac{a}{b^2+16bc+c^2}+\frac{b}{c^2+16ca+a^2}+\frac{c}{a^2+16ab+b^2}\geq \frac{1}{6}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangkhuong: 20-07-2015 - 16:54

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#2
dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

Bài này có liên hệ nhìu vs 1 BĐT phụ nên cần tìm ra nó


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#3
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Giả sử $a\geqslant b\geqslant c$ thì $b^2+c^2\leqslant c^2+a^2\leqslant a^2+b^2$ và $bc\leqslant ca\leqslant ab$

Do đó $b^2+c^2+16bc\leqslant c^2+a^2+16ca\leqslant a^2+b^2+16ab$

Vậy áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho ra: $VT\geqslant \dfrac{3(a+b+c)}{2(a^2+b^2+c^2+8(ab+bc+ca))}=\dfrac{9}{2(9+6(ab+bc+ca))}\geqslant \dfrac{1}{6}$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#4
the man

the man

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 589 Bài viết

Spoiler

Cho a,b,c>0: $a+b+c=3$. CMR:

$\frac{a}{b^2+16bc+c^2}+\frac{b}{c^2+16ca+a^2}+\frac{c}{a^2+16ab+b^2}\geq \frac{1}{6}$

Cách 2:

Dễ thấy  $b^2+16bc+c^2\leq \frac{9}{2}(b+c)^2\Rightarrow \frac{a}{b^2+16bc+c^2}\geq \frac{2}{9}.\frac{a}{(b+c)^2}$

         $\Rightarrow \sum \frac{a}{b^2+16bc+c^2}\geq \frac{2}{9}.\sum \frac{a}{(b+c)^2}$

         $=\frac{2}{27}.\sum a.\sum \frac{a}{(b+c)^2}\geq \frac{2}{27}.\left ( \sum \frac{a}{b+c} \right )^2\geq \frac{2}{27}.\left ( \frac{3}{2} \right )^2=\frac{1}{6}$


"God made the integers, all else is the work of man."

                                                Leopold Kronecker






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hay

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh