Đến nội dung

Hình ảnh

Cho tứ giác $ABCD$ có $AD=BC$...Chứng minh rằng trung điểm của các đaọn $AB,CD,EF$ cùng thuộc một đương thẳng

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
yeudiendanlamlam

yeudiendanlamlam

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết

Cho tứ giác $ABCD$ có $AD=BC$. Về phía ngoài tứ giác ta dựng hai tam giác $ADE,BCF$ sao cho $\Delta ADE=\Delta BCF$. Chứng minh rằng trung điểm của các đaọn $AB,CD,EF$ cùng thuộc một đường thẳng


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeudiendanlamlam: 23-07-2015 - 09:27


#2
LeHKhai

LeHKhai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 124 Bài viết

Cho tứ giác $ABCD$ có $AD=BC$. Về phía ngoài tứ giác ta dựng hai tam giác $ADE,BCF$ sao cho $\Delta ADE=\Delta BCF$. Chứng minh rằng trung điểm của các đaọn $AB,CD,EF$ cùng thuộc một đường thẳng

Untitled.png

Lấy điểm $O$ bất kì

Dựng $\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{AE}$, $\overrightarrow{OJ}=\overrightarrow{BF}$, $\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{BC}$

Dễ thấy $\Delta ORI = \Delta OSJ = \Delta ADE \Rightarrow OI=OJ$ $(1)$, $OR = OS$ $(2)$, $\widehat{IOR}=\widehat{JOS}$ $(3)$

Từ $(1)$, $(2)$ suy ra các tam giác $OIJ$, $ORS$ cùng cân tại $O$

Gọi $H$, $K$ là trung điểm của $IJ$, $RS$

Ta có : $\widehat{HOI}=\widehat{HOJ}$, $\widehat{KOR}=\widehat{KOS}$

Kết hợp với $(3)$ ta có : $\widehat{HOR}=\widehat{HOS}$, $\widehat{KOR}=\widehat{KOS}$

Do đó : $O$, $H$, $K$ thẳng hàng $(4)$

Gọi $M$, $N$, $P$ là trung điểm của $AB$, $CD$, $EF$

Ta có : $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right )=\frac{1}{2}\left ( \overrightarrow{OR}+\overrightarrow{OS} \right )=\overrightarrow{OK}$

Tương tự $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{OH}$

Kết hợp với $(4)$ suy ra $\overrightarrow{MN}\parallel \overrightarrow{MP}$ hay $M$, $N$, $P$ thẳng hàng


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LeHKhai: 23-07-2015 - 11:36

    "How often have I said to you that when you have eliminated the impossible, whatever remains, however improbable, must be the truth?"

 Sherlock Holmes 


#3
yeudiendanlamlam

yeudiendanlamlam

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết

 

Cho mình hỏi làm sao bạn có ý tưởng vẽ ra bức hình thứ hai hay quá vậy?



#4
LeHKhai

LeHKhai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 124 Bài viết

Cho mình hỏi làm sao bạn có ý tưởng vẽ ra bức hình thứ hai hay quá vậy?

do có các trung điểm, đầu tiên mình nghĩ đến việc sử dụng vectơ để chứng minh thẳng hàng và áp dụng $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right )$, $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF} \right )$

do $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AE}$, $\overrightarrow{BF}$ không cùng gốc nên mình phải dựng các vectơ khác có cùng gốc $O$ & lần lượt bằng các vectơ đó

lại để ý $AD=BC$, $AE=BF$  & $2$ tam giác bằng nhau nên khi dựng các vectơ mới ta sẽ được các tam giác cân tại $O$

lúc này gọi các trung điểm (để rút gọn các vectơ tổng) ta dễ chứng minh được các trung điểm & điểm $O$ thẳng hàng

đến đây thì dễ rồi :v


    "How often have I said to you that when you have eliminated the impossible, whatever remains, however improbable, must be the truth?"

 Sherlock Holmes 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh