Đến nội dung

Hình ảnh

[GGTH 2015] Olympic Gặp gỡ Toán học 2015 - Khối 11

ggth gặp gỡ toán học 2015

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Đề thi Olympic Gặp gỡ Toán học 2015 - Khối 11

Thời gian làm bài: 210 phút.

Bài 1. Cho $a<b<c$ là là ba nghiệm của phương trình $x^3-3x+1=0$.

  • Hãy tính $A= \frac{1-a}{a+1}+ \frac{1-b}{b+1}+ \frac{1-c}{c+1}$;
  • Lập phương trình bậc 3 có ba nghiệm $a^2-2,b^2-2,c^2-2$;
  • Chứng minh rằng $a^2-c=b^2-a=c^2-b=2$.

Bài 2. Xét hai dãy số $(a_n)$ và $(b_n)$ thoả mãn $a_1=a_2=1,a_{n+2}=a_{n+1}+a_n, \forall n \ge 1$ và $b_1=1,b_2=3,b_{n+2}=b_{n+1}+b_n, \forall n \ge 1$.

  • Chứng minh rằng $b_n-5a_n^2=4(-1)^n$ với mọi $n$ nguyên dương.
  • Tìm tất cả các giá trị của $n$ sao cho phương trình $a_nx+b_ny=2015$ có nghiệm nguyên $(x,y)$.

Bài 3. Cho đoạn thẳng $BC$ và điểm $A$ di chuyển trên đường tròn $\omega$ đường kính $BC$ sao cho $\angle ABC< \angle ACB$. Gọi $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $BC$ và $E$ là hình chiếu của $A$ trên $BD$, $F$ là trung điểm $AE$ và $BF$ cắt $\omega$ tại điểm thứ hai là $G$. Tiếp tuyến tại $A$ với $\omega$ cắt $BC$ tại $T$.

  • Chứng minh $BC$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $AFG$.
  • Gọi $O_1,O_2$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AFG$ và $ATG$. Chứng minh rằng đường thẳng $O_1O_2$ đi qua một điểm cố định khi $A$ thay đổi.

Bài 4. Tìm số nguyên dương $n$ lớn nhất sao cho với mọi tập hợp $S$ gồm $2015$ số nguyên phân biệt thì luôn tồn tại hai tập con khác nhau (không nhất thiết phải rời nhau) của $S$ mà mỗi tập có tổng các phần tử chia hết cho $n$.

 

Nguồn: Facebook anh Cẩn

 

Ps


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Bài 3. (a) Giả sử $H$ là trung điểm $AD$. Khi đó $FH || BD$

Ta có $\widehat{AGF}=\widehat{ADB}=\widehat{AHF}$ nên $H\in (AFG)$

Ngoài ra $\widehat{AFH}=\widehat{AED}=90^{o}$ nên đường tròn $(AFG)$ có đường kính $AH\perp BC$ và $H\in BC$

Do đó $BC$ tiếp xúc với $(AFG)$

(b) $(O)$ và $(AFG)$ có dây cung chung là $AG$ nên $OO_{1}\perp AG$

$(AFG)$ và $(AGT)$ có dây cung chung là $AG$ nên $O_1O_2\perp AG$

Do đó $O, O_1, O_2$ thẳng hàng nên $O_1O_2$ luôn đi qua $O$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 23-07-2015 - 13:35

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#3
Thao Huyen

Thao Huyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

Bài 1. Cho $a<b<c$ là là ba nghiệm của phương trình $x^3-3x+1=0$.

  • Hãy tính $A= \frac{1-a}{a+1}+ \frac{1-b}{b+1}+ \frac{1-c}{c+1}$;
  • Lập phương trình bậc 3 có ba nghiệm $a^2-2,b^2-2,c^2-2$;
  • Chứng minh rằng $a^2-c=b^2-a=c^2-b=2$.

$a+b+c=0;ab+ac+bc=-3;abc=-1$

$(a)$

$A=\frac{(1-a)(b+1)(c+1)+(1-b)(a+1)(c+1)+(1-c)(a+1)(b+1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}=\frac{-3abc-\sum ab+\sum a+3}{\sum abc+\sum ab+a+1}$
Thay vào thôi :v

$(b)$

$\sum (a^2-2)=\sum a^2-6=(a+b+c)^2-2\sum ab-6=0;...$

Thay vào, theo Viets đảo, dĩ nhiên có: $k^3-3k+1=0$

$(c)$

Theo câu $b$, có được: 

$a^2-2=a,a^2-2=b,a^2-2=c$

Nếu $a^2-a-2=0$ mâu thuẫn.

Nếu: $a^2-2=b$ $\Rightarrow b^2-2=c;c^2-2=a$

Điều này mâu thuẫn cho việc $a<b<c$


Cuộc sống giống như một cuốn sách. Một vài chương khá buồn, một số chương hạnh phúc và một số chương rất thú vị. Nhưng nếu bạn chưa bao giờ lật thử một trang bạn sẽ không bao giờ biết những gì ở chương tiếp theo!






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: ggth, gặp gỡ toán học, 2015

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh