Đến nội dung


Hình ảnh

[GGTH 2015]] Olympic Gặp gỡ Toán học 2015 - Khối 12

ggth gặp gỡ toán học 2015

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4263 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 23-07-2015 - 13:07

Đề thi Olympic Gặp gỡ Toán học 2015 - Khối 12
Thời gian làm bài: 210 phút.

 

Bài 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,b)$ thoả mãn $a^2+b|a^2b+a$ và $b^2-a|ab^2+b$.

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{Z} \mapsto \mathbb{Z}$ thoả mãn đồng thời các điều kiện:

  • $f(f(n))=4n+3$ với mọi $n$ nguyên;
  • $f(f(n)-n)=2n+3$ với mọi $n$ nguyên.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Điểm $D$ bất kì thuộc cạnh $BC$. Đường tròn $(ODC)$ cắt cạnh $AC$ tại $E$, $(ODB)$ cắt cạnh $AB$ tại $F$. Điểm $M$ bất kì thuộc tia đối tia $DO$. Đường tròn $(MDE)$ cắt cạnh $OE$ tại $N$, $(MDF)$ cắt cạnh $OF$ tại $P$. Gọi $XYZ$ là tam giác tạo bởi ba đường trung trực các đoạn $DM,EN,FP$.

  • Chứng minh rằng $O$ là trực tâm tam giác $DEF$;
  • Chứng minh rằng hai đường tròn $(MNP)$ và $(XYZ)$ đồng tâm.

Bài 4. Cho dãy số nguyên dương $(a_n)$ thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

  • Các số hạng của dãy số đôi một khác nhau;
  • $a_1=5,a_2=4,a_3=3$;
  • $a_n \ge n$ với mọi $n=1,2,3, \cdots$;

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $m$, tồn tại số nguyên dương $n>m$ thoả mãn $a_n \ne n+1$.

Nguồn: Facebook anh Cẩn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 25-07-2015 - 22:07

“People's dream will never end!” - Marshall D. Teach.


#2 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 429 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 25-07-2015 - 21:04

Câu 1:

Ta có $a^2+b|a^2b+a=b(a^2+b)+a-b^2$. Suy ra $a^2+b|b^2-a$

Tương tự thì $b^2-a|a^2+b$.

Mặt khác chú ý rằng do $a,b$ nguyên dương nên $a^2+b>a-b^2$ nên ta có $a^2+b=b^2-a$ từ đây ta có $b=a+1$.

Thử lại thấy $(a,a+1)$ thỏa mãn với mọi $a$ nguyên dương.



#3 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 429 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 25-07-2015 - 21:06

Đề câu hàm có gì sai chăng. Đầu tiên ta có $f$ đơn ánh.

Cho $n=0$ vào cả 2 phương trình thì ta thu được $f(f(0))=3=f(f(0)-2)$ suy ra $f(0)=f(0)-2$, mâu thuẫn. Vậy không tồn tại hàm thỏa mãn.



#4 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 25-07-2015 - 21:46

Đề câu hàm đúng phải là :

 

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ và thoả mãn :

1) $f(f(n))=4n+3,\;\forall n\in \mathbb{Z}$

2) $f(f(n)-n)=2n+3,\;\forall n\in \mathbb{Z}$

 

Đây là lời giải của mình :

 

Trong $(2)$ cho $n=-1$ thì có :

$$f(f(-1)+1)=1$$

Vậy ta có $f(a)=1$ với $a=f(-1)+1$.

Trong $(2)$ thay $n$ bởi $2n$ :

$$f(f(2n)-2n)=4n+3=f(f(n)),\;\forall n\in \mathbb{Z}$$

Tuy nhiên dễ thấy $f$ đơn ánh nên :

$$f(2n)=f(n)+2n,\;\forall n\in \mathbb{Z}\;\;\;\;(3)$$

Trong $(1)$ thay $n$ bởi $f(n)-n$ và sử dụng $(2)$ :

$$f(2n+3)=4f(n)-4n+3,\;\forall n\in \mathbb{Z}\;\;\;(4)$$

 

Trong $(4)$ cho $n=a$ :

$$f(2a+3)=4f(a)-4a+3=-4a+7$$

Trong $(2)$ cho $n=2a+3$ được :

$$f(f(2a+3)-2a-3)=2(2a+3)+3=4a+9\Leftrightarrow f(-2a+4)=4a+9$$

 

Mặt khác trong $(1)$ cho $n=a$ thì được $f(1)=4a+3$. Từ đó theo $(3)$ :

$$f(4)=f(2)+4=f(1)+6=4a+9$$

 

Như vậy ta được $f(4)=f(-2a+4)\Leftrightarrow 4=-2a+4\Leftrightarrow a=0$. Tức $f(0)=1$

 

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp $f(n)=2n+1,\;\forall n\in \mathbb{N}$. Rõ ràng với $n=0$ thì điều này đúng.

Gỉa sử điều này đúng với $n$, xét với $n+1$ :

Từ $(2)$ ta có ngay :

$$f((2n+1)-n)=2n+3\Leftrightarrow f(n+1)=2(n+1)+1$$

Theo nguyên lí quy nạp ta được :

$$f(n)=2n+1,\;\forall n\in \mathbb{N}$$

Tiếp theo ta sẽ chứng minh $f(n)=2n+1,\;\forall n\in \mathbb{Z}^-$.

Với $f(0)=1$ và các đẳng thức $(3),(4)$ ta dễ dàng tính được $f(-1)=-1,f(-2)=-3,f(-3)=-5$.

Gỉa sử rằng :

$$f(-n)=-2n+1,\;\forall n\in \mathbb{N}: 3\leq n\leq k$$

Ta cần chỉ ra rằng $f(-k-1)=-2k-1$.

Thật vậy, nếu $k$ lẻ thì theo $(3)$ :

$$f(-k-1)=f\left ( \dfrac{-k-1}{2} \right )-k-1$$

Tuy nhiên theo giả thiết quy nạp ta có $f\left ( \frac{-k-1}{2} \right )=-k$. Suy ra $f(-k-1)=-2k-1$.

Còn nếu $k$ chẵn thì theo $(4)$ :

$$f(-k-1)=4f\left ( \dfrac{-k-4}{2} \right )-4.\left ( \frac{-k-4}{2} \right )+3=4.\left ( -k-3 \right )+2(k+4)+3=-2k-1$$

Quy nạp hoàn tất, ta được :

$$f(n)=2n+1,\;\forall n\in \mathbb{Z}^-$$

 

Đáp số của bài toán là :

$$f(n)=2n+1,\;\forall n\in \mathbb{Z}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 25-07-2015 - 21:47

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#5 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 429 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 25-07-2015 - 23:13

Đề câu hàm đúng phải là :

 

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ và thoả mãn :

1) $f(f(n))=4n+3,\;\forall n\in \mathbb{Z}$

2) $f(f(n)-n)=2n+3,\;\forall n\in \mathbb{Z}$

 

Đây là lời giải của mình :

 

Trong $(2)$ cho $n=-1$ thì có :

$$f(f(-1)+1)=1$$

Vậy ta có $f(a)=1$ với $a=f(-1)+1$.

Trong $(2)$ thay $n$ bởi $2n$ :

$$f(f(2n)-2n)=4n+3=f(f(n)),\;\forall n\in \mathbb{Z}$$

Tuy nhiên dễ thấy $f$ đơn ánh nên :

$$f(2n)=f(n)+2n,\;\forall n\in \mathbb{Z}\;\;\;\;(3)$$

Trong $(1)$ thay $n$ bởi $f(n)-n$ và sử dụng $(2)$ :

$$f(2n+3)=4f(n)-4n+3,\;\forall n\in \mathbb{Z}\;\;\;(4)$$

 

Trong $(4)$ cho $n=a$ :

$$f(2a+3)=4f(a)-4a+3=-4a+7$$

Trong $(2)$ cho $n=2a+3$ được :

$$f(f(2a+3)-2a-3)=2(2a+3)+3=4a+9\Leftrightarrow f(-2a+4)=4a+9$$

 

Mặt khác trong $(1)$ cho $n=a$ thì được $f(1)=4a+3$. Từ đó theo $(3)$ :

$$f(4)=f(2)+4=f(1)+6=4a+9$$

 

Như vậy ta được $f(4)=f(-2a+4)\Leftrightarrow 4=-2a+4\Leftrightarrow a=0$. Tức $f(0)=1$

 

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp $f(n)=2n+1,\;\forall n\in \mathbb{N}$. Rõ ràng với $n=0$ thì điều này đúng.

Gỉa sử điều này đúng với $n$, xét với $n+1$ :

Từ $(2)$ ta có ngay :

$$f((2n+1)-n)=2n+3\Leftrightarrow f(n+1)=2(n+1)+1$$

Theo nguyên lí quy nạp ta được :

$$f(n)=2n+1,\;\forall n\in \mathbb{N}$$

Tiếp theo ta sẽ chứng minh $f(n)=2n+1,\;\forall n\in \mathbb{Z}^-$.

Với $f(0)=1$ và các đẳng thức $(3),(4)$ ta dễ dàng tính được $f(-1)=-1,f(-2)=-3,f(-3)=-5$.

Gỉa sử rằng :

$$f(-n)=-2n+1,\;\forall n\in \mathbb{N}: 3\leq n\leq k$$

Ta cần chỉ ra rằng $f(-k-1)=-2k-1$.

Thật vậy, nếu $k$ lẻ thì theo $(3)$ :

$$f(-k-1)=f\left ( \dfrac{-k-1}{2} \right )-k-1$$

Tuy nhiên theo giả thiết quy nạp ta có $f\left ( \frac{-k-1}{2} \right )=-k$. Suy ra $f(-k-1)=-2k-1$.

Còn nếu $k$ chẵn thì theo $(4)$ :

$$f(-k-1)=4f\left ( \dfrac{-k-4}{2} \right )-4.\left ( \frac{-k-4}{2} \right )+3=4.\left ( -k-3 \right )+2(k+4)+3=-2k-1$$

Quy nạp hoàn tất, ta được :

$$f(n)=2n+1,\;\forall n\in \mathbb{Z}^-$$

 

Đáp số của bài toán là :

$$f(n)=2n+1,\;\forall n\in \mathbb{Z}$$

Cách của đoạn quy nạp thì không khác gì mình. Nhưng mình có cách khác tính $f(0)$ có vẻ nhanh hơn.

Từ (1) ta thay $n=-1$ thì $f(f(-1))=-1$. Bây giờ cũng từ (1) thay $n=f(-1)$ ta có $f(-1)=-1$
Khi đó thay $n=-1$ vào 2 ta có ngay $f(0)=1$



#6 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 429 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 25-07-2015 - 23:51

Câu 4. Phản chứng:

Giả sử tồn tại $m$ sao cho $\forall n>m: a_n=n+1$.

Khi đó ta có: 

  $a_i \le m+1; \forall i \le m$ ( do $a_i$ đôi một phân biệt và các số lớn hơn $m+1$ đều đã xuất hiện theo giả thiết phản chứng)

Mặt khác, $a_i \ge 6; \forall i=4,5,..$ ( Do giả thiết $ii)$ )

Như vậy trong $m-3$ số $a_4,...,a_{m}$ chỉ có $m-4$ giá trị, tức tồn tại 2 số có cùng 1 giá trị. Mâu thuẫn với giải thiết các số đôi một phân biệt.

Vậy ta có điều phải chứng minh!







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: ggth, gặp gỡ toán học, 2015

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh