Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{3c}{\sqrt{1+c^2}}\leq \sqrt{10}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
quan1234

quan1234

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 257 Bài viết

Cho a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ac=1.

Chứng minh $\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{3c}{\sqrt{1+c^2}}\leq \sqrt{10}$

Gợi ý: Bài này sử dụng phương pháp đổi biến :closedeyes:



#2
Changg Changg

Changg Changg

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết

Đặt $a=\tan \dfrac{x}{2}, b=\tan \dfrac{y}{2}, c=\tan \dfrac{z}{2}$ với $x+y+z=\pi$ và $x,y,z\in (0,\pi)$

Khi đó bất đẳng thức trở thành: $\sin x+\sin y+6\sin \dfrac{z}{2}\leqslant 2\sqrt{10}$

Ta có $\sin x+\sin y=2\sin \dfrac{x+y}{2}\cos \dfrac{x-y}{2}\leqslant 2\sin \dfrac{\pi-z}{2}=2\cos \dfrac{z}{2}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh: $\cos \dfrac{z}{2}+3\sin \dfrac{z}{2}\leqslant \sqrt{10}$ luôn đúng theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Changg Changg: 28-07-2015 - 14:23


#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Vì ab + bc+ ca = 1 nên ta có: $\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}=\frac{a}{(a+b)(a+c)}+\frac{b}{(b+a)(b+c)}=\frac{a(b+c)+b(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{ab+1}{(a^2+1)(b+c)}\leqslant \frac{\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}}{(a^2+1)(b+c)} =\frac{\sqrt{b^2+1}}{(b+c)\sqrt{a^2+1}}=\frac{\sqrt{(b+a)(b+c)}}{(b+c)\sqrt{(a+b)(a+c)}}=\frac{1}{\sqrt{(b+c)(a+c)}}=\frac{1}{\sqrt{c^2+1}}$

Đến đây, ta cần chứng minh: $\frac{3c+1}{\sqrt{c^2+1}}\leqslant \sqrt{10} \Leftrightarrow (c-3)^2\geqslant 0$ *đúng*

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=\sqrt{10}-3;c=3$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh