Chủ đề này có 3 trả lời

[thanhnam2000]

1. Cho a,b,c dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh:

                        $\sum \frac{1}{a^{2}}+3\geq 2(a+b+c)$

 

2. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $(a+c)(a+b+c)<0$. Chứng minh:

                       $b^{2}+c^{2}-4a^{2}>2(2ab+2ac+bc)$

 

[arsfanfc]

1. Cho a,b,c dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh:

                        $\sum \frac{1}{a^{2}}+3\geq 2(a+b+c)$

 

 

 

Đặt $(a,b,c)=(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})=> xyz=1$

BĐT cần chứng minh tương đương với

$x^2+y^2+z^2+2xyz+1 \geq 2(xy+yz+zx)$

sử dụng nguyên lí $dirichle$ thì ta thấy trong ba số $x,y,z$ sẻ có  2 số đồng thời$ \geq 1$ hoắc $\leq 1$

giả sử đó là $x,y$

$=> (x-1)(y-1) \geq 0$

$=>x^2+y^2+z^2+2xyz+1-2(xy+yz+zx)=(x-y)^2+(z-1)^2+2z(x-1)(z-1) \geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi arsfanfc: 29-07-2015 - 10:24

[Minhnguyenthe333]

1. Cho a,b,c dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh:
$\sum \frac{1}{a^{2}}+3\geq 2(a+b+c)$

BĐT$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^2}-2(a+b+c)+3\geq \frac{9}{t}-2\sqrt{3t}+3 (t=\sum a^2)$
Lập bảng biến thiên ta suy ra $f(t)\geq 0$ (đúng).Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 29-07-2015 - 10:39

[KietLW9]

1. Cho a,b,c dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh:

                        $\sum \frac{1}{a^{2}}+3\geq 2(a+b+c)$

 

Vì $abc=1$ nên ta cần chứng minh:

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{3}{abc}\geq 2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})$

Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\rightarrow (x,y,z)$ thì $x,y,z>0;xyz=1$ và ta cần chứng minh:

$x^2+y^2+z^2+3xyz\geqslant 2(xy+yz+zx)$

Theo nguyên lí Dirichlet thì trong 3 số $x-1;y-1;z-1$ tồn tại ít nhất 2 số cùng dấu, giả sử là $x-1$ và $y-1$ thì $(x-1)(y-1)\geqslant 0\Leftrightarrow 3xyz\geqslant 3zx+3yz-3z$

Ta cần chứng minh: 

$x^2+y^2+z^2+3zx+3yz-3z\geqslant 2(xy+yz+zx)$

$\Leftrightarrow (x-y)^2+z(x+y+z-3)\geqslant 0$

Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$