1. Cho a,b,c dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh:
$\sum \frac{1}{a^{2}}+3\geq 2(a+b+c)$
2. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $(a+c)(a+b+c)<0$. Chứng minh:
$b^{2}+c^{2}-4a^{2}>2(2ab+2ac+bc)$
1. Cho a,b,c dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh:
$\sum \frac{1}{a^{2}}+3\geq 2(a+b+c)$
2. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $(a+c)(a+b+c)<0$. Chứng minh:
$b^{2}+c^{2}-4a^{2}>2(2ab+2ac+bc)$
1. Cho a,b,c dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh:
$\sum \frac{1}{a^{2}}+3\geq 2(a+b+c)$
Đặt $(a,b,c)=(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})=> xyz=1$
BĐT cần chứng minh tương đương với
$x^2+y^2+z^2+2xyz+1 \geq 2(xy+yz+zx)$
sử dụng nguyên lí $dirichle$ thì ta thấy trong ba số $x,y,z$ sẻ có 2 số đồng thời$ \geq 1$ hoắc $\leq 1$
giả sử đó là $x,y$
$=> (x-1)(y-1) \geq 0$
$=>x^2+y^2+z^2+2xyz+1-2(xy+yz+zx)=(x-y)^2+(z-1)^2+2z(x-1)(z-1) \geq 0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi arsfanfc: 29-07-2015 - 10:24
~YÊU ~
BĐT$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^2}-2(a+b+c)+3\geq \frac{9}{t}-2\sqrt{3t}+3 (t=\sum a^2)$1. Cho a,b,c dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh:
$\sum \frac{1}{a^{2}}+3\geq 2(a+b+c)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 29-07-2015 - 10:39
1. Cho a,b,c dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh:
$\sum \frac{1}{a^{2}}+3\geq 2(a+b+c)$
Vì $abc=1$ nên ta cần chứng minh:
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{3}{abc}\geq 2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})$
Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\rightarrow (x,y,z)$ thì $x,y,z>0;xyz=1$ và ta cần chứng minh:
$x^2+y^2+z^2+3xyz\geqslant 2(xy+yz+zx)$
Theo nguyên lí Dirichlet thì trong 3 số $x-1;y-1;z-1$ tồn tại ít nhất 2 số cùng dấu, giả sử là $x-1$ và $y-1$ thì $(x-1)(y-1)\geqslant 0\Leftrightarrow 3xyz\geqslant 3zx+3yz-3z$
Ta cần chứng minh:
$x^2+y^2+z^2+3zx+3yz-3z\geqslant 2(xy+yz+zx)$
$\Leftrightarrow (x-y)^2+z(x+y+z-3)\geqslant 0$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh