Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $p$ là số nguyên tố, $p>3$ và $n= \frac{2^{2p}-1}{3}$.Chứng minh rằng $2^n-2$ $\vdots$ $n$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
yeudiendanlamlam

yeudiendanlamlam

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết

Cho $p$ là số nguyên tố, $p>3$ và $n= \frac{2^{2p}-1}{3}$.Chứng minh rằng $2^n-2$ $\vdots$ $n$



#2
Belphegor Varia

Belphegor Varia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

$\texttt{Solution}$

 

$\blacklozenge$ Chứng minh 

Ta có $n-1=\frac{2^{2p}-1}{3}-1=\frac{4(2^{p-1}+1)(2^{p-1}-1)}{3}$

Vì $p$ là số nguyên tố lẻ nên $p-1$ chẵn ta có: $2^{p-1}\equiv 1(\mod 3 )$

Theo định lý Fermat nhỏ có : $2^{p-1}\equiv 1(\mod p)$

Vậy : $2^{p-1}-1\vdots 3p$ $\Rightarrow \frac{2^{p-1}-1}{3}\vdots p$

Do đó $n-1\vdots 2p$

Từ đó suy ra : $2^{n-1}-1\vdots 2^{2p}-1$

Mà theo cách chọn  $n$ thì $2^{2p}-1\vdots n$ nên suy ra : $2^{n-1}-1\vdots n$

tức là $2^n-2\vdots n$        $\square$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 30-07-2015 - 18:16

$ \textbf{NMQ}$

Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come 

Just take off her or give me a ride 

Give me one day or one hour or just one minute for a short word 

 


#3
eminemdech

eminemdech

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết

$\texttt{Solution}$

 

$\blacklozenge$ Chứng minh 

Ta có $n-1=\frac{2^{2p}-1}{3}-1=\frac{4(2^{p-1}+1)(2^{p-1}-1)}{3}$

Vì $p$ là số nguyên tố lẻ nên $p-1$ chẵn ta có: $2^{p-1}\equiv 1(\mod 3 )$

Theo định lý Fermat nhỏ có : $2^{p-1}\equiv 1(\mod p)$

Vậy : $2^{p-1}-1\vdots 3p$ $\Rightarrow \frac{2^{p-1}-1}{3}\vdots p$

Do đó $n-1\vdots 2p$

Từ đó suy ra : $2^{n-1}-1\vdots 2^{2p}-1$

Mà theo cách chọn  $n$ thì $2^{2p}-1\vdots n$ nên suy ra : $2^{n-1}-1\vdots n$

tức là $2^n-2\vdots n$        $\square$

Cho mình hỏi tại sao $n-1\vdots 2p$ thì $2^{n-1}-1\vdots 2^{2p}-1$ vậy



#4
Belphegor Varia

Belphegor Varia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Vì $n-1\vdots 2p$ nên giả sử $n-1=2pk$ $(k\in \mathbb{N})$

$2^{n-1}-1=2^{2pk}-1=(2^{2p}-1)M$ $\vdots 2^{2p}-1$


$ \textbf{NMQ}$

Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come 

Just take off her or give me a ride 

Give me one day or one hour or just one minute for a short word 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh