Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a^3}{b^2-2b+3}+\frac{2b^3}{c^3+a^2-2a-3c+7}+\frac{3c^3}{a^4+b^4+a^2-2b^2-6a+11}\leq \frac{3}{2}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Bonjour

Bonjour

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 476 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn điều kiện $a^3+b^3+c^3=3$ 

  Chứng minh rằng :

             $\frac{a^3}{b^2-2b+3}+\frac{2b^3}{c^3+a^2-2a-3c+7}+\frac{3c^3}{a^4+b^4+a^2-2b^2-6a+11}\leq \frac{3}{2}$


Con người nếu không có ước mơ, sống không rõ mục đích mới là điều đáng sợ  

                     


#2
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn điều kiện $a^3+b^3+c^3=3$ 

  Chứng minh rằng :

             $\frac{a^3}{b^2-2b+3}+\frac{2b^3}{c^3+a^2-2a-3c+7}+\frac{3c^3}{a^4+b^4+a^2-2b^2-6a+11}\leq \frac{3}{2}$

Ta có : $\frac{a^3}{b^2-2b+3}=\frac{a^3}{(b-1)^2+2}\leq \frac{a^3}{2}$

    $\frac{2b^3}{c^3+a^2-2a-3c+7}=\frac{2b^3}{(c^3-3c+2)+(a^2-2a+1)+4}=\frac{2b^3}{(c-1)^2(c+1)+(a-1)^2+4}\leq \frac{2b^3}{4}=\frac{b^3}{2}$

  $\frac{3c^3}{a^4+b^4+a^2-2b^2-6a+11}=\frac{3c^3}{(a^4+a^2+1+1+1+1-6a^2)+(b^4-2b^2+1)+6}\leq \frac{3c^3}{6\sqrt[6]{a^6}-6a+(b^2-1)^2+6}\leq \frac{3c^3}{6}=\frac{c^3}{2}$

 

Cộng theo vế các BDT $= > P\leq \frac{a^3+b^3+c^3}{2}=\frac{3}{2}$

 

Do đó ta có ĐPCM. Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh