Chủ đề này có 5 trả lời

[yeudiendanlamlam]

Cho $A=(10^n+10^{n-1}+...+10+1)(10^{n+1}+5)+1$.Chứng minh $A$ là số chính phương nhưng không là lập phương của một số tự nhiên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeudiendanlamlam: 02-08-2015 - 08:39

[olympiachapcanhuocmo]

Cho $A=(10^n+10^{n-1}+...+10+1)(10^{n+1}+5)+1$.Chứng minh $n$ là số chính phương nhưng không là lập phương của một số tự nhiên

Sửa lại đề đi bạn ! Phải A chứ bạn !

[hoctrocuaHolmes]

Cho $A=(10^n+10^{n-1}+...+10+1)(10^{n+1}+5)+1$.Chứng minh $n$ là số chính phương nhưng không là lập phương của một số tự nhiên

Xét tổng 

$B=10^n+10^{n-1}+...+10+1\Rightarrow 10B=10^{n+1}+10^{n}+...+10^{2}+10\Rightarrow B=\frac{10^{n+1}-1}{9}\rightarrow A=(10^n+10^{n-1}+...+10+1)(10^{n+1}+5)+1=\frac{(10^{n+1}-1)(10^{n+1}+5)}{9}=(\frac{10^{n+1}+2}{3})^{2}$

Vì $10\equiv 1(mod 3)\rightarrow 10^{n+1}\equiv 1(mod 3)\Leftrightarrow 10^{n+1}+2\equiv 0(mod 3)\rightarrow (\frac{10^{n+1}+2}{3})^{2}$ là số chính phương

Lại có $(10^{n+1}+2)^{2}=10^{2n+2}+4.10^{n+1}+4\equiv 4(mod 8)$(vì$10^{2n+2}\equiv 0(mod 8);4.10^{n+1}\equiv 0(mod 8);4\equiv 4(mod 8))\Rightarrow$ $\rightarrow$$(\frac{10^{n+1}+2}{3})^{2}$ không là lập phương của $1$ số tự nhiên 

[Minhnguyenthe333]

Cho $A=(10^n+10^{n-1}+...+10+1)(10^{n+1}+5)+1$.Chứng minh $n$ là số chính phương nhưng không là lập phương của một số tự nhiên

Ta có:$A=(10^n+10^{n-1}+...+10+1)(10^{n+1}+5)+1=\frac{(10^{n+1}-1)(10^{n+1}+5+9}{9}=\frac{(10^{n+1}+2)^2}{3^2}$
mà $10^{n+1}+2\vdots 3$ nên ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 01-08-2015 - 20:50

[yeudiendanlamlam]

Xét tổng 

$B=10^n+10^{n-1}+...+10+1\Rightarrow 10B=10^{n+1}+10^{n}+...+10^{2}+10\Rightarrow B=\frac{10^{n+1}-1}{9}\rightarrow A=(10^n+10^{n-1}+...+10+1)(10^{n+1}+5)+1=\frac{(10^{n+1}-1)(10^{n+1}+5)}{9}=(\frac{10^{n+1}+2}{3})^{2}$

Vì $10\equiv 1(mod 3)\rightarrow 10^{n+1}\equiv 1(mod 3)\Leftrightarrow 10^{n+1}+2\equiv 0(mod 3)\rightarrow (\frac{10^{n+1}+2}{3})^{2}$ là số chính phương

Lại có $(10^{n+1}+2)^{2}=10^{2n+2}+4.10^{n+1}+4\equiv 4(mod 8)$(vì$10^{2n+2}\equiv 0(mod 8);4.10^{n+1}\equiv 0(mod 8);4\equiv 4(mod 8))\Rightarrow$ $\rightarrow$$(\frac{10^{n+1}+2}{3})^{2}$ không là lập phương của $1$ số tự nhiên 

cho mình hỏi tại sao từ chỗ này lại có thể suy ra $(\frac{10^{n+1}+2}{3})^{2}$ không là lập phương của $1$ số tự nhiên vậy bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeudiendanlamlam: 02-08-2015 - 08:53

[hoctrocuaHolmes]

cho mình hỏi tại sao từ chỗ này lại có thể suy ra $(\frac{10^{n+1}+2}{3})^{2}$ không là lập phương của $1$ số tự nhiên vậy bạn

À do lập phương của số tự nhiên khi chia cho $8$ thì dư $0;1;3;5;7$ mà $(\frac{10^{n+1}+2}{3})^{2}$ thì chia $8$ dư $4$ nên nó không là lập phương của $1$ số tự nhiên