Chủ đề này có 4 trả lời

[quynhquynh]

1) cho các số thực x,y thỏa mãn x khác y; x,y khác 0 .CMR: \[\frac{1}{\left ( x-y \right )^{2}}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geq \frac{4}{xy}\]

2) cho a,b,c là các số thực không âm.CMR: \[4\left ( \sqrt{a^{3}b^{3}} +\sqrt{b^{3}c^{3}}+\sqrt{c^{3}a^{3}}\right )\leq 4c^{3}+\left ( a+b \right )^{3}\]

 

[quan1234]

 

1) cho các số thực x,y thỏa mãn x khác y; x,y khác 0 .CMR: \[\frac{1}{\left ( x-y \right )^{2}}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geq \frac{4}{xy}\]

2) cho a,b,c là các số thực không âm.CMR: \[4\left ( \sqrt{a^{3}b^{3}} +\sqrt{b^{3}c^{3}}+\sqrt{c^{3}a^{3}}\right )\leq 4c^{3}+\left ( a+b \right )^{3}\]

 

Câu 1$\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq \frac{4}{xy}$ 

Đặt $x^2+y^2=a, xy=b$, ta có $\frac{1}{a-2b}+\frac{a}{b^2}\geq \frac{4}{b}\Leftrightarrow \frac{b^2+a(a-2b)}{b^2(a-2b)}\geq \frac{4b(a-2b)}{b^2(a-2b)}\Leftrightarrow b^2+a^2-2ab\geq 4ab-8b^2\Leftrightarrow (a-3b)^2\geq 0$

Dấu "=" xảy ra khi a=3b

[leminhansp]

 

 

1) cho các số thực x,y thỏa mãn x khác y; x,y khác 0 .CMR: \[\frac{1}{\left ( x-y \right )^{2}}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geq \frac{4}{xy}\]

 

Cách 2: Đặt $\frac 1x=u$, $\frac 1y=v$ BĐT trở thành $$\left(\frac{uv}{u-v}\right)^2+u^2+v^2\ge 4uv$$ Đặt $v=ku$ và rút gọn ta được BĐT tương đương $$\left(\frac{k}{1-k}\right)^2+k^2+1\ge4k\Leftrightarrow \left(\frac{k}{1-k}\right)^2+(1-k)^2\ge 2k$$ Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng.

 

[Changg Changg]

Bài 2. Đặt $x=\sqrt{a}, y=\sqrt{b}, z=\sqrt{c}$ thì ta cần chứng minh: $4(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)\leqslant 4z^6+(x^2+y^2)^3$

Bất đẳng thức này tương đương với $3x^2y^2(x-y)^2+(x^3+y^3-2z^3)^2\geqslant 0$ hiển nhiên đúng.

[KietLW9]

1) cho các số thực x,y thỏa mãn x khác y; x,y khác 0 .CMR: \[\frac{1}{\left ( x-y \right )^{2}}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geq \frac{4}{xy}\]

$VT-VP=\frac{(x^2-3xy+y^2)^2}{x^2y^2(x-y)^2}\geqslant 0$