Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm đoạn $[a,b]$ lớn nhất sao cho $( x+y+z-4 )^2< xyz$ nghiệm đúng

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
kimchitwinkle

kimchitwinkle

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 526 Bài viết

Tìm các cặp số $a,b$ thỏa mãn điều kiện $a\leq b\leq 4$ sao cho bất đẳng thức $\left ( x+y+z-4 \right )^{2}< xyz$ nghiệm đúng với mọi $x,y,z \in \left [ a;b \right ]$ và hiệu $b-a$ lớn nhất



#2
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Tìm các cặp số $a,b$ thỏa mãn điều kiện $a\leq b\leq 4$ sao cho bất đẳng thức $\left ( x+y+z-4 \right )^{2}< xyz$ nghiệm đúng với mọi $x,y,z \in \left [ a;b \right ]$ và hiệu $b-a$ lớn nhất

Sửa lại đề cho hợp lý : Sửa lại bất đẳng thức là $(x+y+z-4)^2\leqslant xyz$

--------------------------------------------------

 

Xét bất đẳng thức $(x+y+z-4)^2\leqslant xyz\ (^*)$

Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử $x\leqslant y\leqslant z$

 

Lấy số $c< 1$ tùy ý. Nhận xét rằng nếu $c\in [a;b]$ thì trong trường hợp $x=y=z=c$, ta có $(x+y+z-4)^2> 1$ và $xyz< 1$, $(^*)$ không thỏa mãn. Vậy suy ra $a\geqslant 1$

 

Bây giờ ta xét xem nếu $x=1$, $y=z=t$ thì $t$ có thể lớn nhất là bao nhiêu để $(x+y+z-4)^2=xyz$ ?

Ta có $(2t-3)^2=t^2$ $\Rightarrow t=1$ hoặc $t=3$. Vậy giá trị lớn nhất của $t$ là $3$

 

Tiếp theo, ta chứng minh bất đẳng thức $(^*)$ nghiệm đúng với mọi $x,y,z\in [1;3]$

Gọi $s=x+y+z$. Với mọi $x,y,z\in [1;3]$, ta có $s\in [3;9]$

Xét $3$ trường hợp :

1) $s\in [3;5]$

   Đặt $x=1+m$ ; $y=1+p$ ; $z=1+q$ ($0\leqslant m\leqslant p\leqslant q$, $0\leqslant m+p+q\leqslant 2$)

   Ta có $xyz=(1+m)(1+p)(1+q)\geqslant 1+m+p+q=s-2$ (dấu bằng xảy ra khi $m=p=0$)

   Mặt khác, khi $s\in [3;5]$, ta có $s^2-9s+18\leqslant 0\Leftrightarrow s-2\geqslant (s-4)^2=(x+y+z-4)^2$

   $\Rightarrow (^*)$ đúng $\forall s\in[3;5]$

2) $s\in [5;7]$

   Đặt $x=1+m$ ; $y=1+p$ ; $z=3-q$ ($0\leqslant m\leqslant p$, $0\leqslant q$, $0\leqslant m+p-q\leqslant 2$)

   + Nếu $m\leqslant q$ :

     Ta có $xyz=(1+m)(1+p)(3-q)\geqslant 1.(1+p).(3-q+m)\geqslant 1.(1+m+p-q).3=3(s-4)$

   + Nếu $m> q$ :

     Ta có $xyz=(1+m)(1+p)(3-q)\geqslant (1+m-q).(1+p).3\geqslant 1.(1+m+p-q).3=3(s-4)$

   Trong cả trường hợp, đều có $xyz\geqslant 3(s-4)$ (1)

   Mặt khác, khi $s\in [5;7]$, ta có $s^2-11s+28\leqslant 0\Leftrightarrow 3(s-4)\geqslant (s-4)^2=(x+y+z-4)^2$ (2)

     (1),(2) $\Rightarrow (^*)$ đúng $\forall s\in[5;7]$

3) $s\in [7;9]$

   Đặt $x=1+m$ ; $y=3-p$ ; $z=3-q$ ($m,p,q$ không âm ; $0\leqslant m-p-q\leqslant 2$)

   Ta có $xyz=(1+m)(3-p)(3-q)\geqslant (1+m-q).(3-p).3\geqslant (1+m-p-q).3.3=9(s-6)$ (3)

   Mặt khác, khi $s\in [7;9]$, ta có $s^2-17s+70\leqslant 0\Leftrightarrow 9(s-6)\geqslant (s-4)^2=(x+y+z-4)^2$ (4)

     (3),(4) $\Rightarrow (^*)$ đúng $\forall s\in[7;9]$

 

Cuối cùng, ta cần chứng minh, trong tất cả các đoạn $[a;b]$ thỏa mãn điều kiện đề bài thì đoạn có $b-a$ lớn nhất là đoạn $[1;3]$

Giả sử $y=z=t$ ; $x=t-2$. Ta tìm xem $t$ phải thỏa mãn điều kiện gì thì $x,y,z$ mới nghiệm đúng bất đẳng thức $(^*)$

Ta có $(x+y+z-4)^2\leqslant xyz\Leftrightarrow (3t-6)^2\leqslant t^2(t-2)\Leftrightarrow t^3-11t^2+36t-36\geqslant 0\Leftrightarrow (t-2)(t-3)(t-6)\geqslant 0$

$\Leftrightarrow 2\leqslant t\leqslant 3$ hoặc $t\geqslant 6$

Điều đó chứng tỏ nếu $3< b\leqslant 4$ thì không có đoạn $[b-2;b]$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

Lưu ý thêm rằng $a\geqslant 1$, ta kết luận : đoạn $[a;b]$ thỏa mãn điều kiện đề bài và có hiệu $b-a$ lớn nhất là đoạn $[1;3]$ (cặp số cần tìm là $a=1$ ; $b=3$)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 13-06-2018 - 21:03

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh