Chủ đề này có 1 trả lời

[19kvh97]

Cho $f(x)$ là hàm số xác định và liên tục tại mọi $x\neq 0$, lấy giá trị không âm thỏa mãn điều kiện:
$f(x)\leq k\int_{0}^{x}f(t)dt, \vee x\geq 0$ 

Trong đó $k$ là 1 hằng số dương. Chứng minh rằng $f(x)=0 ,\vee x\geq 0$

[fghost]

Dễ thấy $f(0)=0.$ Ta có $0 \leq f(x) \leq k \int_{0}^{x} f(t) dt$, mà $k \int_{0}^{x} f(t) dt \rightarrow 0$ khi $x \rightarrow 0^+$, nên $\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)=0$ do định lý kẹp. Nên $f$ liên tục phải tại $0$.

 

Do đó ta có $f$ liên tục trên $[0, \infty)$. Cụ thể $f$ sẽ liên tục trên $[0, \frac{1}{2k}]$. Nên $f$ đạt maximum tại điểm $c$ nào đó trong đoạn đó. Nên $f( c) \leq k \int_{0}^{c} f(t) dt \leq k c f( c)$, nên nếu $f( c)>0$ thì $1 \leq kc \leq k \frac{1}{2k}=\frac{1}{2}$. Vô lý. Vì vậy $f( c)=0$. Hay $f=0$ trên đoạn $[0, \frac{1}{2k}]$.

 

Gọi $g(x)= f(x-\frac{1}{2k}).$ Dễ thấy $g$ thõa mãn điều kiện của đề bài với cùng hằng số $k$ như $f$, nên theo lý luận trên $g=0$ trên $[0, \frac{1}{2k}]$. Nên $f=0$ trên $[0, 2\frac{1}{2k}]$. Dùng quy nạp, dễ thấy $f=0$ trên $[0, n\frac{1}{2k}]$ với mọi $n$, nên $f=0$ trên $[0, \infty)$